polinomio...e la sua forma...

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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angus89
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polinomio...e la sua forma...

Messaggio da angus89 » 07 nov 2007, 17:56

Secondo me di esercizi sui polinomi non se ne fanno mai abbastanza...
Questo esercizo l'ho risolto ma mi piacerebbe avere la conferma...quindi posto il problema e la soluzione...accetto critiche e altre soluzioni... Very Happy

Dire quale forma deve avere un polinomio $ P(x) $ affinchè per ogni numero reale x si abbia

$ 1-x^4 \le P(x) \le 1+x^4 $


La mia soluzione
Passaggi algebrici
$ 1-x^4 \le P(x) \le 1+x^4 $
$ x^4 \le P(x)-1 \le x^4 $

ricordiamo che se $ -a \le x^2 \le a $ allora $ x^2 - a^2\geq 0 $
quindi possiamo affermare che
$ (P(x)-1)^2 - x^8 \geq 0 $
ovvero questo equivale a dire che il quadrato del polinomio deve avere almeno un elemento in $ x^8 $
quindi la forma del polinomio è
$ P(x)=a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4 $
il tutto con a_0!=0 (ovvero diverso da 0...non sò scriverlo in latex...)
Ultima modifica di angus89 il 08 nov 2007, 17:25, modificato 2 volte in totale.
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui

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l'Apprendista_Stregone
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Messaggio da l'Apprendista_Stregone » 07 nov 2007, 21:34

Pare che ambedue abbiamo una certa passione per i polinomi :D
viewtopic.php?t=9262
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EUCLA
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Re: polinomio...e la sua forma...

Messaggio da EUCLA » 07 nov 2007, 21:48

angus89 ha scritto:
ricordiamo che se $ -a \le x^2 \le a $ allora$ x^2 - a^2\geq 0 $

è minore, non maggiore, così era troppo facile :)

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angus89
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Messaggio da angus89 » 08 nov 2007, 17:25

EUCLA ha scritto:
angus89 ha scritto:
ricordiamo che se $ -a \le x^2 \le a $ allora$ x^2 - a^2\geq 0 $

è minore, non maggiore, così era troppo facile :)
hai ragione!!!
Ke cavolo di errore!!!
Ke stupido ke sono!!!

cavolo!!!
va bè...rivedendo...


La mia soluzione
Passaggi algebrici
$ 1-x^4 \le P(x) \le 1+x^4 $
$ x^4 \le P(x)-1 \le x^4 $

grazie al mio errore notiamo che
$ -a \le x^2 \le a $ allora$ x^2 - a^2\le 0 $
quindi possiamo affermare che
$ (P(x)-1)^2 - x^8\le 0 $
ovvero questo equivale a dire che il quadrato del polinomio non deve avere nemmeno un elemento in $ x^8 $
quindi la forma del polinomio è
$ P(x)=a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3 $
oppure deve essere un polinomio di grado inferiore

E' giusta così?
Ormai non sono sicuro più di niente...
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Messaggio da EUCLA » 08 nov 2007, 18:21

scusa se ti smonto la sol per la seconda volta ma non sono convinta riguardo al
non deve avere nemmeno un elemento in x^8 ...
prova a pensare che il coefficiente di quello che devi sottrarre è 1 e
1)siamo nei reali
2)nessuno ti dice che $ P(x) $ sia monico.

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angus89
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Messaggio da angus89 » 08 nov 2007, 21:50

si hai ragione...cavolo le cose si complicano sempre più...
Se comincio a pensare a valori reali (e il polinomio non monico) allora la mia soluzione non è corretta...
Perchè anche se comparissero termini di 8 grado nel polinomio $ a_0 $ potrebbe benissimo valere $ 1/2 $...
Ci devo pensare...forse un'idea ce l'ho già...ma ho il cervello in fiamme...tutto il pomeriggio a studiare Seneca...uff...
Va bè ci proverò domani...
Non mi và di scrivere ancora una cosa di cui non sono sicuro...
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angus89
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Messaggio da angus89 » 11 nov 2007, 18:08

non ce la faccio...chi mi aiuta?
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Messaggio da EUCLA » 11 nov 2007, 19:44

Allora...vediamo un pò cosa vien fuori:

$ -x^4\le P(x)\le x^4 $ che è equivalente a :

$ -1 \le \displaystyle\frac{P(x)}{x^4} \le 1 $

Da qui si può sapere qualcosa sul grado del polinomio. Infatti se $ P(x) $ è di grado minore di 4, la disuguaglianza non vale per tutte le x ma solo per un intervallo.
Quindi $ deg[P(x)]\le 4 $

Per come deve essere poi è work in progress

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