Poland MO 1998

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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alexlor8083
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Messaggio da alexlor8083 » 25 ott 2007, 18:10

$ \text{Find all pairs of positive integers}\hspace{2mm}\\$x,y$\\ \text{satisfying the equation}\\ $y^x = x^{50}.$ $

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EUCLA
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Messaggio da EUCLA » 25 ott 2007, 19:07

Allora...
$ \displaystyle y=x^{\frac{50}{x}} $
$ x|50 $
$ \rightarrow x=1, y=1 $
$ \\ \rightarrow x=2,y=2^{25} $
$ \\ \rightarrow x=5, y=5^{10} $
$ \\ \rightarrow x=10, y=10^5 $
$ \\ \rightarrow x=25, y=25^2 $
$ \\ \rightarrow x=50, y=50 $

alexlor8083
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Messaggio da alexlor8083 » 25 ott 2007, 19:57

Mancano alcune coppie.....

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Messaggio da EUCLA » 25 ott 2007, 20:55

tipo? :?

alexlor8083
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Messaggio da alexlor8083 » 25 ott 2007, 21:14

$ $x=4 y=2^{25}$\\ $x=100 \hspace{2mm} y=10$ $

Jacobi
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Messaggio da Jacobi » 28 ott 2007, 10:12

alexlor8083 ha scritto:$ $x=100 \hspace{2mm} y=10$ $
Infatti, come ci fa notare alexor8083, se $ \displaystyle x^{\frac{50}{x}} $e' intero, nn e' necessariamente vero che x divide 50 :wink:
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Messaggio da EUCLA » 28 ott 2007, 10:22

Si, non è che avviene solo quello ma vale anche 50|x e poi si vede da li che più di tanto non posson crescere..per pigrizia poi dopo il post di alexor8083, non avevo completato :P

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