conderiamo a e b dati in Z. provare che esiste un'unica coppia (x, y) in Z tale che:
(x+2y-a)^2 + (2x-y-b)^2 <= 1
disuguaglianza in Z
Spostiamoci un attimo in $ \mathbb R^2 $: l'equazione $ (x+2y-a)^2+(2x-y-b)^2 \leq 1 $
descrive (come è facile verificare) un cerchio di centro $ \displaystyle \left(\frac{a+2b}{5},\frac{2a-b}{5} \right ) $
e raggio costante pari a $ \displaystyle \sqrt{\left(\frac{a+2b}{5}\right)^2+\left(\frac{2a-b}{5}\right)^2-\frac{a^2+b^2-1}{5}}=\frac{\sqrt5}{5} $.
Da qui è facile vedere che "esportando" il cerchio sul reticolo $ \mathbb Z^2 $ quest'ultimo
ingloba uno ed un sol punto a coordinate intere. Se $ a $ e $ b $ fossero reali, potrebbe non
esistere la coppia $ (x,y ) $. Infatti, basterebbe prendere come centro del cerchio $ \displaystyle\left(\frac{1}{2},0\right) $.
descrive (come è facile verificare) un cerchio di centro $ \displaystyle \left(\frac{a+2b}{5},\frac{2a-b}{5} \right ) $
e raggio costante pari a $ \displaystyle \sqrt{\left(\frac{a+2b}{5}\right)^2+\left(\frac{2a-b}{5}\right)^2-\frac{a^2+b^2-1}{5}}=\frac{\sqrt5}{5} $.
Da qui è facile vedere che "esportando" il cerchio sul reticolo $ \mathbb Z^2 $ quest'ultimo
ingloba uno ed un sol punto a coordinate intere. Se $ a $ e $ b $ fossero reali, potrebbe non
esistere la coppia $ (x,y ) $. Infatti, basterebbe prendere come centro del cerchio $ \displaystyle\left(\frac{1}{2},0\right) $.