Proprietà dei numeri di Fibonacci
Inviato: 07 ott 2007, 17:39
Sia $ F_n $ la successione dei numeri di Fibonacci così definita:
$ F_0 = 0, F_1 = 1, F_{n+1} = F_n + F_{n-1} $
Sia $ C_{n,k} $ il coefficiente binomiale "n su k", cioè il numero di combinazioni di n elementi presi k a k.
Dimostrare che per ogni $ n \geq 0 $ si ha:
$ \sum^n_{k=0} C_{n,k} F_{k+1} = F_{2n+1} \sum^n_{k=0} C_{n,k} F_{k} = F_{2n} $
Ho provato con l'induzione e, usando la legge di Stiefel, per i coefficienti binomiali ho dimostrato che se è vera l'una è vera anche l'altra, ma non riesco a dimostrare l'una senza supporre vera l'altra..grazie a chi mi risponderà...
$ F_0 = 0, F_1 = 1, F_{n+1} = F_n + F_{n-1} $
Sia $ C_{n,k} $ il coefficiente binomiale "n su k", cioè il numero di combinazioni di n elementi presi k a k.
Dimostrare che per ogni $ n \geq 0 $ si ha:
$ \sum^n_{k=0} C_{n,k} F_{k+1} = F_{2n+1} \sum^n_{k=0} C_{n,k} F_{k} = F_{2n} $
Ho provato con l'induzione e, usando la legge di Stiefel, per i coefficienti binomiali ho dimostrato che se è vera l'una è vera anche l'altra, ma non riesco a dimostrare l'una senza supporre vera l'altra..grazie a chi mi risponderà...