Disuguaglianza

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Alex89
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Disuguaglianza

Messaggio da Alex89 » 01 ott 2007, 18:27

Siano a,b,c,d reali positivi tc $ a+b+c+d=4 $
Dimostrare che:
$ a^2bc+b^2cd+c^2da+d^2ab\le 4 $

Jacobi
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Messaggio da Jacobi » 01 ott 2007, 19:18

4 GM-$ M_{4} $ ponderate da sommare
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FeddyStra
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Messaggio da FeddyStra » 01 ott 2007, 19:58

Medie + Chebychev
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]

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edriv
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Messaggio da edriv » 01 ott 2007, 20:04

Disuguaglianze + altre disuguaglianze.

Qualcuno potrebbe postare una soluzione, almeno abbozzata, per favore?

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EUCLA
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Messaggio da EUCLA » 01 ott 2007, 21:28

Si anche a me è venuta con Chebycheff e medie. Allora..
Riscrivo la tesi come :
$ S=\displaystyle\frac{a^2bc+ b^2cd+c^2da+d^2ab}{4}\le 1 $
$ S=\displaystyle\frac{a^2bc+ b^2cd+c^2da+d^2ab}{4}\bigg(\frac{d+a+b+c}{4}\bigg) $$ \displaystyle\le \frac{a^2bcd+ab^2cd+abc^2d+abcd^2}{4}=Q $
Sfruttando $ a+b+c+d=4 $ si ha per AM-GM che $ abcd\le 1 $
Quindi: $ Q\le \displaystyle \frac{a+b+c+d}{4}=1 $.

E ora cerco di capire come si fanno le parentesi tonde più grandi :P EDIT:capito :roll:

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FeddyStra
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Messaggio da FeddyStra » 01 ott 2007, 21:53

edriv ha scritto:Disuguaglianze + altre disuguaglianze.
Naturalmente si poteva anche fare con:
Induzione + pigeonhole!
:lol: :lol: :lol:
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
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Messaggio da FeddyStra » 01 ott 2007, 22:05

EUCLA ha scritto:$ S=\displaystyle\frac{a^2bc+ b^2cd+c^2da+d^2ab}{4}\bigg(\frac{d+a+b+c}{4}\bigg) $$ \displaystyle\le \frac{a^2bcd+ab^2cd+abc^2d+abcd^2}{4}=Q $
Attenta: questa disuguaglianza non è sempre vera!
Un controesempio semplice è $ \displaystyle \left(3,\frac12,\frac1{32},\frac{15}{32} \right) $
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]

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Messaggio da EUCLA » 01 ott 2007, 22:15

cavoli devon esser ordinate.. :oops:

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Messaggio da EUCLA » 02 ott 2007, 23:26

Allora rieccomi :D
$ S=a^2bc+b^2cd+c^2da+d^2ab\le 4 $

Per risolvere il problema dell'ordinamento ho fatto così (controllando poi su mathlinks
dovrebbe essere una cosa giusta..ma ditemi se sbaglio..:)):

considero $ \sigma(a\ b\ c\ d) \rightarrow (a\ b\ c\ d) | a\ge b\ge c\ge d $

$ S \le a^2bc+b^2ad+c^2ad+d^2bc= (ac+bd)(ab+dc)=Q $ per riarrangiamento

Ora, per AM-GM $ (ac+bd)(ab+dc) \le \displaystyle\bigg(\frac{ac+bd+ab+dc}{2}\bigg)^2 $
$ ac+bd+ab+dc=(a+d)(b+c)\le \displaystyle \bigg(\frac{a+b+c+d}{2}\bigg)^2 $
Quindi $ Q \le \displaystyle \bigg[\frac{(\frac{a+b+c+d}{2})^2}{2}\bigg]^2=4 $

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