Sulle radici di f(x)(f(x)+1)

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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FrancescoVeneziano
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Sulle radici di f(x)(f(x)+1)

Messaggio da FrancescoVeneziano » 01 ott 2007, 14:47

Sia f(x) un polinomio a coefficienti complessi di grado n>0
Dimostrate che il polinomio f(x)(f(x)+1) ha almeno n+1 radici distinte (nei numeri complessi).
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marco-daddy
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Messaggio da marco-daddy » 01 ott 2007, 20:17

basta fare un paio di considerazioni su f'(x) o sto prendendo un abbaglio?

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FrancescoVeneziano
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Messaggio da FrancescoVeneziano » 01 ott 2007, 22:02

Ho cercato per ore di usare la formula di Hurwitz per risolvere questo problema, ma in effetti bastano un paio di considerazioni su f'(x); qualcuno vuole farle?
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fph
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Messaggio da fph » 02 ott 2007, 10:40

Stupidi noi a non ripassarlo, ma era una una banale applicazione del teorema abc per polinomi...
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edriv
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Messaggio da edriv » 06 ott 2007, 21:25

Seguendo il suggerimento di Marco...

Siano $ ~ \alpha_i, \beta_j $ con $ ~ i = 1,2,\ldots,n_1 \quad j=1,2,\ldots,n_2 $ le radici complesse di (rispettivamente) $ ~ f(x), f(x)+1 $, con molteplicità rispettivamente $ ~ v_i , w_j $. Avremo quindi $ ~ \sum v_i = \sum w_j = n $.

Usiamo questi fatti noti sulla derivata:
- ha grado n-1
- se f ha una radice di molteplicità k, allora f' ha quella radice con molteplicità k-1
- f ed f+1 hanno la stessa derivata
- in generale un polinomio di grado k ha al più k radici contate con molteplicità

Da questo concludiamo che:
$ ~ \sum (v_i-1) + \sum(w_j-1) \le n-1 $, ovvero $ ~ \sum v_i + \sum w_j - n_1 - n_2 \le n-1 $, ovvero $ ~ 2n - (n-1) \le n_1 + n_2 $, ovvero $ ~ n_1+n_2 \ge n+1 $, che è la tesi.

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