Domanda di algebra

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Isaac888
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Domanda di algebra

Messaggio da Isaac888 » 15 set 2007, 11:29

Salve!
Ieri mi sono scaricato le tracce della 2°prova dell'esame di stato per la maturità scientifica PNI 2007... leggendo le tracce e volutamente senza consultare le soluzioni ho provato a fare il quesito 9.

Diceva di dimostrare che 2x^3-3x^2+6x+6=0 ha solo una radice reale, poi trovarne il valore approssimato!... era mostruosamente facile farlo con l'analisi!
Però, un pò indignato da ciò, mi sono chiesto se fosse possibile trovare un valore approssimato della x attraverso l'uso delle sole disuguaglianze algebriche... In questo tentativo purtroppo però io ho fallito... gradirei suggerimenti, aiutini...ringrazio in anticipo!

PS: ho dimostrato che la radice reale era unica e negativa portando il termine noto a secondo membro e mettendo in evidenza la x al primo... si vedeva che la parentesi aveva un delta negativo perciò la x all'esterno doveva essere negativa! sostituendo alla x il numero (a + ib) con b diverso da zero veniva al primo membro un numero del tipo A + iB con B diverso da zero e a secondo membro (a + ib) con b=0 (cioè -6)! andava bene cosi dimostrato??? SCUSATE IL ROMANZO :lol: ...

GRAZIE!
Isaac888

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Isaac888
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Messaggio da Isaac888 » 15 set 2007, 11:53

scusate se l'ho postato qui... ormai l'ho messo e non so come spostarlo...
Isaac888

Pigkappa
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Messaggio da Pigkappa » 15 set 2007, 15:06

In genere in questi casi alla maturità si aspettano che tu dica che la funzione è continua e che ne disegni il grafico... Si vede che interseca l'asse delle x in un punto solo e allora la radice positiva è una sola.

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edgar89
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Messaggio da edgar89 » 15 set 2007, 17:43

atto dimostrando il teorema di esistenza degli zeri in ]-oo,+oo[ (derivata sempre positiva etc...)

comunque carino il metodo che hai postato utilizzando i num complessi...
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Sherlock
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Messaggio da Sherlock » 15 set 2007, 19:46

non credo che ci sia una sola anima viva che quest'anno abbia fatto quel problema senza analisi :D tra l'altro era anche il problema + stupido dei 10, però facendolo in un altro modo potrebbe diventare molto + carino...
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Russell
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Messaggio da Russell » 15 set 2007, 22:20

Sia $ f(x)=2x^3-3x^2+6x+6 $. Vogliamo dimostrare che tale funzione ha una sola intersezione con l'asse $ x $.
Intanto possiamo affermare che c'è almeno una intersezione, trattandosi di una polinomiale di terzo grado. Battezziamola $ \alpha $. Supponiamo per assurdo che ve ne sia un'altra, e indichiamola con $ \beta $. In tal caso in $ \left[\alpha , \beta \right] $ sono pienamente soddisfatte le ipotesi del Teorema di Rolle, e dunque esiste un punto $ c $ tale che
(i) $ \alpha<c<\beta $
(ii) $ f'(c)=0 $
La (ii) dice che esiste $ c $ tale che $ c^2-c+1=0 $, ovvero $ \displaystile {\left( c-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}=0 $, assurdo.
Questa dimostrazioncina, a differenza di far semplicemente vedere che la derivata è sempre positiva e dunque la funzione è sempre crescente, utilizza il Teorema di Rolle (gettonatissimo!) e consente una spiegazione forse più articolata e convincente...
"Il fatto che un'opinione sia ampiamente condivisa, non è affatto una prova che non sia completamente assurda" B. Russell

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jordan
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Messaggio da jordan » 17 set 2007, 11:04

naaaaaaaaaaaaaaam no approssimazioni!!!!!!


prima sostituzione e arrivi alla forma x^3 +px +q

poi cardano docet! :)
con questo quest'anno mi so beccato un bel 100 e lode!

Andre_tenplus
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Messaggio da Andre_tenplus » 17 set 2007, 23:14

si vai, ti ci voglio con cardano....hai perso tre ore alla maturità scommetto!!
troppo meglio la classica bisezione, come ho fatto io!

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jordan
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Messaggio da jordan » 18 set 2007, 10:31

noooo solo mezz'ora per trovare la sostituzione, poi mi ero gia preparato che se usciva un esercizio del genere dal polinomio ax^3 + bx^2 +cx +d puoi arrivare sempre a un altro della forma x^3 + px + q (con dimostrazione semplicissima) e il gioco è fatto! 8)

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Isaac888
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Messaggio da Isaac888 » 24 set 2007, 23:45

credo di aver addirittura trovato la soluzione esatta per x facendo cosi:

chiamando y la soluzione reale, so sicuramente che, rendendo monico il polinomio iniziale, si avrà

x^3 - 3/2x^2 + 3x + 3 = (x-y)(x^2+ax+b)=0

con il delta del secondo fattore minore di zero, cioè (a^2<4b);

sviluppando tutto... x^3+(a-y)x^2+(b-ay)x-yb=0

A questo punto, svolgendo il sistema

(1) a-y= -3/2
(2) b-ay= 3
(3) yb=3

Tenendo presente che (a^2<4b) allora

x=( 2(79)^(1/2) - 17 )^(1/3) - ( 2(79)^(1/2) + 17 )^(1/3) + 1

che è proprio x=-0,6724958107 :D :D :D 8)
Isaac888

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