nice one!! Help needed!

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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timothy6
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nice one!! Help needed!

Messaggio da timothy6 » 13 set 2007, 00:29

$ x^5 = 5y^3 - 4z $
$ y^5 = 5z^3 - 4x $
$ z^5 = 5x^3 - 4y $

where a,b,c are real numbers
please help to find all the answers and solution

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edgar89
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Re: nice one!! Help needed!

Messaggio da edgar89 » 13 set 2007, 11:12

timothy6 ha scritto:$ x^5 = 5y^3 - 4z $
$ y^5 = 5z^3 - 4x $
$ z^5 = 5x^3 - 4y $

where a,b,c are real numbers
please help to find all the answers and solution
a,b,c or x,y,z :?:
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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 13 set 2007, 11:57

Per onestà riporto il commento di Sepp, fatto in un thread di geometria ... non ho ancora verificato, ma fidarsi è bene, non fidarsi è meglio.
Sepp ha scritto:Questo ragazzo polacco tenta di fare il furbo! I due problemi che ha postato (uno qui, l'altro in algebra) sono del I round delle olimpiadi polacche, in corso fino al 8 Ottobre e per le quali è vietato "farsi aiutare". Sarebbe quindi scorretto rispondere con una soluzione.
It seems that this problem (as the ones posted by timothy6 in the geometry section) comes from the 1st round of the Polish Mathematical Olympiads, ending the 8th October. It is forbidden to ask help for solving these problems. So it would unfair to answer providing a solution.

Per completezza di informazione, la prima fase delle olimpiadi polacche per la selezione alle IMO comprende una dozzina di problemi da fare a casa e inviare ai correttori; genericamente va da Settembre a Dicembre. Non avendo io informazioni in proposito, non posso confermare la scadenza dell'8 Ottobre o la certa provenienza del problema da tale gara, ma riporto l'avviso, come già detto, per sicurezza.

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edgar89
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Messaggio da edgar89 » 15 set 2007, 17:42

EvaristeG ha scritto:Per onestà riporto il commento di Sepp, fatto in un thread di geometria ... non ho ancora verificato, ma fidarsi è bene, non fidarsi è meglio.
Sepp ha scritto:Questo ragazzo polacco tenta di fare il furbo! I due problemi che ha postato (uno qui, l'altro in algebra) sono del I round delle olimpiadi polacche, in corso fino al 8 Ottobre e per le quali è vietato "farsi aiutare". Sarebbe quindi scorretto rispondere con una soluzione.
It seems that this problem (as the ones posted by timothy6 in the geometry section) comes from the 1st round of the Polish Mathematical Olympiads, ending the 8th October. It is forbidden to ask help for solving these problems. So it would unfair to answer providing a solution.

Per completezza di informazione, la prima fase delle olimpiadi polacche per la selezione alle IMO comprende una dozzina di problemi da fare a casa e inviare ai correttori; genericamente va da Settembre a Dicembre. Non avendo io informazioni in proposito, non posso confermare la scadenza dell'8 Ottobre o la certa provenienza del problema da tale gara, ma riporto l'avviso, come già detto, per sicurezza.
lol effettivamente avevo letto il post in geometria ma volevo chiedere lo stesso anche solo per risolverlo io stesso...
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edriv
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Messaggio da edriv » 09 ott 2007, 19:53

Oggi si può no?

Riscriviamole come:
$ x^5+4z=5y^3 \\ y^5+4x=5z^3 \\ z^5+4y=5x^3 $

Osserviamo che (x,y,z) è soluzione se e soltanto se lo è (-x,-y,-z). Quindi ci riconduciamo ai seguenti casi:
- x,y nonnegativi, z negativo. Questo è subito assurdo per la seconda equazione.
- uno dei 3 è nullo. Segue subito che, essendo gli altri due wlog nonnegativi, anche gli altri due sono nulli.

Ora possiamo assumere x,y,z positivi.
Caso 1: $ ~ x \ge y \ge z $. Quindi $ ~ 5x^3 \ge 5z^3 $, e confrontando la 3 e la 2 otteniamo $ ~ z^5 + 4y \ge y^5 + 4x $. Usando $ ~ y^5 \ge z^5 $ e $ ~ 4x \ge 4y $, otteniamo x=y=z.

Caso 2: $ ~ x \ge z \ge y $. Da $ ~ 5x^3 \ge 5y^3 $ otteniamo $ ~ z^5 + 4y \ge x^5 + 4z $, e come prima riusciamo a girare la disuguaglianza, ottenendo x=y=z.

Sapendo x=y=z, ci riconduciamo ad un'equazione di secondo grado che ha per radici 1,2.
Riepilogando, le soluzioni sono:
(-2,-2,-2)
(-1,-1,-1)
(0,0,0)
(1,1,1)
(2,2,2)

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