Disuguaglianza del senior

[Pigkappa]

$ \displaystyle a, b, c, d $ reali positivi, $ \displaystyle a+b+c+d=1 $, allora:

$ \displaystyle 6(a^3 + b^3 + c^3 + d^3) \geq a^2 + b^2+c^2+d^2 + \frac{1}{8} $

[EUCLA]

Ditemi che c'è qualcosa di sbagliato e che non è cosi semplice perchè altrimenti comincio a odiarmi

$ 6(a^3+b^3+c^3+d^3)\geq a^2+b^2+c^2+d^2 +\displaystyle\frac{1}{8} $
Allora sappiamo che: $ \displaystyle\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{4}} \geq \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}}\rightarrow $
$ \rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3= \displaystyle\frac{4}{8}\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2)^3} $
Poniamo $ a^2+b^2+c^2+d^2=x^2 $
La disuguaglianza di partenza diventa:

$ \displaystyle\frac{6}{2}x^3 \geq x^2+\frac{1}{8} $

$ 24x^3-8x^2-1=24x^3-12x^2+4x^2-1 $$ =(12x^2+2x+1)(2x-1)\geq 0 $

Essendo $ 12x^2+2x+1 $ sempre maggiore di zero, vediamo se effettivamente $ 2\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}\geq 1 $

Ma questa è vera per $ QM\geq AM $ e sfruttando la relazione $ a+b+c+d=1 $

Sto veramente sperando di aver sbagliato qualcosa perchè come è intuibile non l'ho scritta stamani...

[Pigkappa]

E invece mi sa che funziona...
Posto anche la mia (che è simile):

Step 1)Per CS:

$ (a^{3/2}*a^{1/2}+...+d^{3/2}*d^{1/2})^2 \leq (a^3+...+d^3)*(a+...+d) $
$ (a^3+...+d^3) \geq (a^2+...+d^2)^2 $.

Step 2)Sostituisco quello che ho trovato e la disuguaglianza diventa:

$ 6(a^2+...+d^2)^2 \geq (a^2+...+d^2) +1/8 $

$ 6x^2 - x - 1/8 \geq 0 $

$ (x+1/12) (x-1/4) \geq 0 $

Step 3) $ a^2+...+d^2 \geq 1/4 $ per QM > AM.

[sgiangrag]

Spezzata formula per leggibilità -- EG

sia per simmetria $ a \leq b \leq c \leq d $
possiamo porre
$ a=0.25-x-y $ $ b=0.25-x+y $ $ c=0.25+x-z $ $ d=0.25+x+z $ (1)
dove le limitazioni sono $ x,y,z \geq 0; x \leq 0.25; y,z \leq 0.5 $ (2)
portando tutto al primo membro si ha
$ 6((0.25-x-y)^3+(0.25-x+y)^3 $$ +(0.25+x-z)^3+(0.25+x+z)^3) $
$ -((0.25-x-y)^2+(0.25-x+y)^2+(0.25+x-z)^2+ $$ (0.25+x+z)^2+0.125)= $
$ =14x^2+7y^2+7z^2-36xy^2+36xz^2= $$ 36x((z-y)^2+2y(z-y))+7(2x^2+y^2+z^2) $
dato che $ z-y<1> $(per le limitazioni della (2)) si ha $ z-y>(z-y)^2 $ e quindi
$ 36x((z-y)^2+2y(z-y))+7(2x^2+y^2+z^2) $$ \geq 36x((z-y)^2(2y+1))+7(2x^2+y^2+z^2) $
che è banalmente maggiore o uguale a 0 e l'uguaglianza si ha per $ x=y=z=0 $ e cioè per $ a=b=c=d=0.25 $
e ciò conclude la dimostrazione.
P.S: se avete dubbi sulla 1) o sulla 2) si ottengono ragionando sulle medie ma se non vo è ben chiaro posso anche mostrarvi i passaggi con cui si arriva a quello

[EvaristeG]

Oh beh, visto che l'ho fatta anch'io:
-per Chebichev (o come buffamente vogliate scriverlo)
$ 4(a^2a+b^2b+c^2c+d^2d)\geq (a^2+b^2+c^2+d^2)(a+b+c+d) $
-per AM-CM
$ 2(a^3+b^3+c^3+d^3)\geq8\dfrac{(a+b+c+d)^3}{4^3} $
Sommando, la tesi.

[sgiangrag]

Oh beh, visto che l'ho fatta anch'io:
-per Chebichev (o come buffamente vogliate scriverlo)

e costui cosa afferma? che
$ 4(a^2x+b^2x+c^2x+d^2w)\geq (a^2+b^2+c^2+d^2)(x+y+z+w) $
o qualcosa di più generale?
P.S: Evaristeg, tra l'altro, pur non conoscendo il teorema, credo che ti sia mangiato un $ d^2d $

[EvaristeG]

Ecco Chebichev!
Sì, mancava un d^3.

[fph]

Molto OT: le scelte per traslitterarlo di solito sono: all'inglese, Chebyshev, o alla francese, Tchebicheff o qualcosa di simile. "All'inglese" e "alla francese" significano che un inglese (risp. un francese) pronunciandola "naturalmente" azzecca il suono giusto.

In particolare sarebbe importante che la prima e la terza consonante siano scritte in modo diverso ("Ch" e "sh", "Tch" e "ch", non "Ch" e "ch") visto che rappresentano due suoni diversi . Inoltre pare che l'ultima vocale non sia una comune "e", ma vada pronunciata un po' come la "eu" francese o la $ \"o\, $ tedesca. I numerosi cittadini russi presenti sul forum (e allo stage senior) possono confermare (o smentire ).