Determinare la più piccola costante a tale che
$ 6x^2+y^2+a \geq 4xy +y $
per ogni x ed y interi.
Per tale valore di determinare le coppie (x,y) di numeri reali per cui si ha uguaglianza.
sssup (opuscolo) n.63
lol... ho mi è venuto più facile trovare la soluzione per x,y interi che per x,y reali. comunque:
$ 6x^2+y^2-4xy-y \geq -a $
$ (2x-y)^2+2x^2-y \geq -a $
pongo b=2x-y
$ b^2+b+2x(x-1) \geq -a $
e ne deduco che il valore minimo che può assumere è 0 (da cui a >= 0), infatti:
$ b^2+b \geq 0 $
ha delta < 0 e segni concordi, quindi è sempre verificata ed ha come minimo proprio 0.
$ 2x^2-2x \geq 0 $
non è verificata solo tra 0 e -1, estremi esclusi, quindi per valori interi è sempre verificata. Anche il minimo di questa è dunque 0.
Ci sono quindi 4 coppie di valori per i quali vi è uguaglianza
$ b^2+b=0 $
e
$ x^2-x=0 $
da cui ricavo: (0,0), (0,1), (1,2), (1,3)
$ 6x^2+y^2-4xy-y \geq -a $
$ (2x-y)^2+2x^2-y \geq -a $
pongo b=2x-y
$ b^2+b+2x(x-1) \geq -a $
e ne deduco che il valore minimo che può assumere è 0 (da cui a >= 0), infatti:
$ b^2+b \geq 0 $
ha delta < 0 e segni concordi, quindi è sempre verificata ed ha come minimo proprio 0.
$ 2x^2-2x \geq 0 $
non è verificata solo tra 0 e -1, estremi esclusi, quindi per valori interi è sempre verificata. Anche il minimo di questa è dunque 0.
Ci sono quindi 4 coppie di valori per i quali vi è uguaglianza
$ b^2+b=0 $
e
$ x^2-x=0 $
da cui ricavo: (0,0), (0,1), (1,2), (1,3)