PreIMO 2006

[lozio]

Il problema 3 di Algebra:
Siano x,y,z numeri reali non negativi tali che x+y+z = 1. Determinare il massimo valore possibile per 1) x^2*y+y^2*z+z^2*x e 2) x^2*y+y^2*z+z^2*x+y^2*x+z^2*y+x^2*z ha sulla dispensa Stage PreIMO Pisa 2006 come "aiutino": in entrambi i casi mostrare che detta f(x,y,z) la somma, si ha f(x,y,z) <= f(x+z,y,0) purché y non sia la più grande o la più piccola delle tre variabili.
Purtroppo, svolti i calcoli, non riesco a dimostrare tali disuguaglianze.
Per favore, qualcuno può spiegarmi come si verificano ?
Grazie.

[pic88]

Per la seconda a me viene che

$ {f(x,y,z) \le f(x+z,y,0)} $ se $ {y} $ è la più grande. Infatti la disuguaglianza equivale a $ {x+z \le 2y} $.

Dopodichè l'espressione a sinistra è $ {y(1-y)} $ che assume massimo in $ {[1/3,1]} $ per $ {y=1/2} $; tale massimo è ovviamente $ {1/4} $.

[lozio]

D'accordo.
Allora bisogna dire che l'ipotesi sulla variabile y contenuta nella dispensa è errata (almeno per la seconda disuguaglianza).
Grazie.

[teppic]

Per la prima disuguaglianza, bisogna dimostrare che
$ x^2y+y^2z+z^2x\leq(x+z)^2y $
ovvero
$ y^2z+z^2x\leq2xyz+z^2y $
dividendo per z
$ y^2+zx\leq2xy+zy $
raccogliendo con astuzia
$ xy+(x-y)(y-z)\geq0 $

Quest'ultima è certamente vera se $ y $ non è né la massima né la minima delle variabili.

[lozio]

Davvero un raccoglimento astuto!
Chiariscimi, per favore, questo dubbio.
Perché se f(x+z,y,0) >= f(x,y,z) in un certo intervallo, il massimo della funzione maggiorente è uguale al massimo della minorante?
Grazie.

[pic88]

Beh la funzione minorante è minore o uguale di quella maggiorante che è minore o uguale al suo massimo. Se trovi che per una certa configurazione la minorante assume il valore massimo sei a posto