trigon

[jordan]

dimostrare che sen(x)^(sen(x))<cos(x)^(cos(x)) per ogni x nell'intervallo[0°, 45°]

[pic88]

anzi, provare che $ 0\leq a\leq b \Rightarrow a^a\leq b^b $

[Ponnamperuma]

Beh, come giustamente faceva notare pic88, in $ [0,\frac{\pi}{4}] $ $ 0\leq\sin x\leq\cos x $.
Allora $ (\sin x)^ {\sin x}\leq (\sin x)^{\cos x}\leq (\cos x)^{\cos x} $, che è la tesi... con uguaglianza se e solo se $ \sin x=\cos x=\frac{\sqrt2}{2} $...

EDIT: Idiozie... ignorare, prego...

[Leblanc]

$ (\sin x)^ {\sin x}\leq (\sin x)^{\cos x}\leq (\cos x)^{\cos x} $

La prima parte della disuguaglianza e' falsa, essendo le basi delle potenze minori di 1.
La monotonia della funzione x^x si trova con un pochino di analisi...

[jordan]

ecco...

[claudiothe2nd]

dimostrare che sen(x)^(sen(x))<cos(x)^(cos(x)) per ogni x nell'intervallo[0°, 45°]

direi che la tesi può essere tranquillamente confutata per x=0° e x=45° poichè un numero non è mai minore di se stesso!

comunque mi è sorto un altro problema, che dimostra la mia inattitudine teorica: la derivata di x^x è sempre x^x?????

perchè in tal caso la monotonia crescente del ramo delle x positive della funzione x^x la si trova tranquillamente osservando che la derivata prima, per le x positive è sempre positiva...

[Ponnamperuma]

$ y=x^x \rightarrow y=e^{x\ln x} \Rightarrow y'=e^{x\ln x}\cdot(\ln x+1)=x^x(\ln x+1) $...

[albert_K]

Basta selezionare Disabilita HTML nel messaggio e non mettere doppi dollari che non c'azzeccano nulla. EG

Mah, supposto che l'intervallo sia $ 0<x<frac>0 $

E si verifica che che nell'intervallo $ 0<t<\frac{\pi}{8} $ è sempre verificata.... [/tex]


EDIT: Bohhhh non so che sia successo qua!

[albert_K]

Mah, supposto che l'intervallo sia aperto e verificando che semmai in pi/4 e in 0 (con un passaggio al limite) vale l'uguaglianza, io l'ho dimostrato usando le formule parametriche, ma viene un calcolaccio talmente brutto che non mi sembra il caso di riportare.

Diciamo che se ho fatto le cose in modo giusto alla fine dovrebbe venire una cosa del genere:

$ (t-1-\sqrt{2})(t-1+\sqrt{2})(log(2t)(1-t^2)) > 0 $

E si verifica che che nell'intervallo $ 0<t<tg(\frac{\pi}{8}) $ è sempre vera....

[jordan]

si l'intervallo èaperto, ho semplicemente sbagliato a scrivere

[claudiothe2nd]

$ y=x^x \rightarrow y=e^{x\ln x} $...

perdona la mia ignoranza, ma questo procedimento l'hai ideato tu o esisteva già? ..non ho tutta questa dimestichezza con le derivate..

[albert_K]

Rispondo io per Ponnamperuma:

E' un procedimento assolutamente STANDARD, utile per calcolare le derivate di funzioni del tipo $ f(x)^{g(x)} $, e sfrutta semplicemente le proprietà dei logaritmi, anzi, direi che sfrutta i logaritmi per definizione....

[jordan]

si ma èpreferibile non usare metodi di analisi ...altrimenti sarebbe una soluzione troppo standard

[piever]

uhm, se non ho completamente cannato la dimostrazione, per x nell'intervallo $ \displaystyle(0,\frac{1}{2}) $ si ha una tesi un po' piu' forte, cioe':

$ \displaystyle x^x<(1-x)^{1-x} $

Ma onestamente non credo ci sia una soluzione non analitica, anche se sarei curioso di vederla...

[albert_K]

Beh ma nella dimostrazione che ho usato io, per quanto "brutta", non c'è niente di analisi, si usano solo identità trigonometriche, proprietà dei logaritmi e in generale si usano solo passaggi algebrici