Propongo questa disuguaglianza veramente bellina proposta ad algebra al preIMO07...
Siano $ a_1,a_2, ... ,a_n $ e $ b_1, b_2, ... ,b_n $ numeri reali tali che:
$ \sum a_i ^2 =1 $
$ \sum b_i^2 =1 $
$ \sum a_ib_i = 0 $
Dimostrare che:
$ \displaystyle \left( a_1 + a_2 + ... + a_n \right)^2 + \left( b_1 + b_2 + ... + b_n \right)^2 \leq n $
Disugualianza @ preIMO
-
Simo_the_wolf
- Moderatore
- Messaggi: 1053
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: Pescara
-
WindowListener
- Messaggi: 78
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: (UNI) Trieste
-
fur3770
Re: Disugualianza @ preIMO
facilina
abbiamo che:
$ \sum a_i ^2 =1 $
$ \sum b_i^2 =1 $
$ \sum a_ib_i = 0 $
essendo $ a, b \in \mathbb{R} $ e assumiamo $ q \in \mathbb{Z}^+ $ tali che $ 0 < a < b $ ed $ a^q < a+b $, risulta che $ \displaystyle\left\lfloor \frac{b^q}{a+b}\right\rfloor\equiv (-1)^{q-1} a^{q-1}-\frac{1+(-1)^{q+1}}{2}\bmod b. $
Dim.: vale $ \displaystyle \frac{b^q}{a+b} = b^{q-1} \cdot\sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k \left(\frac{a}{b}\right)^{\!k} = $ $ \displaystyle b^{q-1} \cdot \sum_{k=0}^{q-1} (-1)^k \left(\frac{a}{b}\right)^{\!k} + (-1)^q \cdot\frac{a^q}{a+b} $, per ogni $ q \in \mathbb{Z}^+ $. Se perciò $ a^q < a+b $, allora $ \displaystyle \left\lfloor\frac{b^q}{a+b}\right\rfloor = b^{q-1} \cdot\sum_{k=0}^{q-1} (-1)^k \left(\frac{a}{b}\right)^{\!k} - \frac{1 +(-1)^{q+1}}{2} $ $ \displaystyle = \sum_{k=0}^{q-1} (-1)^k \cdot a^k b^{q-1-k} - \frac{1 +(-1)^{q+1}}{2} $. Ne risulta $ \displaystyle \left\lfloor\frac{b^q}{a+b}\right\rfloor \equiv (-1)^{q-1} a^{q-1} - \frac{1 +(-1)^{q+1}}{2} \bmod b $,
assumiamo $ a = 3 $, $ b = 10^{100} $ e $ q = 200 $. Poiché $ 3^{200} = 9^{100} < 10^{100} $, banalmente $ a^q < a+b $. Di conseguenza $ \displaystyle \left\lfloor\frac{10^{20000}}{10^{100} + 3}\right\rfloor \equiv -3^{199} \equiv -3^{-1} \equiv 3 \bmod 10 $,
quindi
$ \displaystyle \left( a_1 + a_2 + ... + a_n \right)^2 + \left( b_1 + b_2 + ... + b_n \right)^2 \leq n $
abbiamo che:
$ \sum a_i ^2 =1 $
$ \sum b_i^2 =1 $
$ \sum a_ib_i = 0 $
essendo $ a, b \in \mathbb{R} $ e assumiamo $ q \in \mathbb{Z}^+ $ tali che $ 0 < a < b $ ed $ a^q < a+b $, risulta che $ \displaystyle\left\lfloor \frac{b^q}{a+b}\right\rfloor\equiv (-1)^{q-1} a^{q-1}-\frac{1+(-1)^{q+1}}{2}\bmod b. $
Dim.: vale $ \displaystyle \frac{b^q}{a+b} = b^{q-1} \cdot\sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k \left(\frac{a}{b}\right)^{\!k} = $ $ \displaystyle b^{q-1} \cdot \sum_{k=0}^{q-1} (-1)^k \left(\frac{a}{b}\right)^{\!k} + (-1)^q \cdot\frac{a^q}{a+b} $, per ogni $ q \in \mathbb{Z}^+ $. Se perciò $ a^q < a+b $, allora $ \displaystyle \left\lfloor\frac{b^q}{a+b}\right\rfloor = b^{q-1} \cdot\sum_{k=0}^{q-1} (-1)^k \left(\frac{a}{b}\right)^{\!k} - \frac{1 +(-1)^{q+1}}{2} $ $ \displaystyle = \sum_{k=0}^{q-1} (-1)^k \cdot a^k b^{q-1-k} - \frac{1 +(-1)^{q+1}}{2} $. Ne risulta $ \displaystyle \left\lfloor\frac{b^q}{a+b}\right\rfloor \equiv (-1)^{q-1} a^{q-1} - \frac{1 +(-1)^{q+1}}{2} \bmod b $,
assumiamo $ a = 3 $, $ b = 10^{100} $ e $ q = 200 $. Poiché $ 3^{200} = 9^{100} < 10^{100} $, banalmente $ a^q < a+b $. Di conseguenza $ \displaystyle \left\lfloor\frac{10^{20000}}{10^{100} + 3}\right\rfloor \equiv -3^{199} \equiv -3^{-1} \equiv 3 \bmod 10 $,
quindi
$ \displaystyle \left( a_1 + a_2 + ... + a_n \right)^2 + \left( b_1 + b_2 + ... + b_n \right)^2 \leq n $
sarà anche facilina ma io non ho mica capito tanto bene come da quel ragionamento che sinceramente non riesco a seguire (scarse capacità) si possa arrivare a provare la disuguaglianza.
Qualcuno ha una dimostrazione più facile/comprensibile..oppure mi può spiegare meglio quella di fur3770?
(mi resta oscuro anche il significato delle parentesi simil-quadrate)
scusate l'ignoranza...sto cercando di imparare
Qualcuno ha una dimostrazione più facile/comprensibile..oppure mi può spiegare meglio quella di fur3770?
(mi resta oscuro anche il significato delle parentesi simil-quadrate)
scusate l'ignoranza...sto cercando di imparare
È del tutto normale che tu non la comprenda poiché non dimostra la diseguaglianza di Simo, ma si tratta di un tentativo di fur di rendersi simpatico (o ulteriormente antipatico)EUCLA ha scritto:sarà anche facilina ma io non ho mica capito tanto bene come da quel ragionamento che sinceramente non riesco a seguire (scarse capacità) si possa arrivare a provare la disuguaglianza.
Qualcuno ha una dimostrazione più facile/comprensibile..oppure mi può spiegare meglio quella di fur3770?
(mi resta oscuro anche il significato delle parentesi simil-quadrate)
scusate l'ignoranza...sto cercando di imparare
Tu chiamale, se vuoi, emozioni.
$ $\lfloor x\rfloor=floor(x)$ $ e' il massimo degli interi minore o uguale a x
$ $\lceil x\rceil=ceil(x)$ $ e' il minimo degli interi maggiore o uguale a x
$ $\lceil x\rceil=ceil(x)$ $ e' il minimo degli interi maggiore o uguale a x
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]
Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php
Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php
-
fur3770
peppeporc ha scritto:È del tutto normale che tu non la comprenda poiché non dimostra la diseguaglianza di Simo, ma si tratta di un tentativo di fur di rendersi simpatico (o ulteriormente antipatico)EUCLA ha scritto:sarà anche facilina ma io non ho mica capito tanto bene come da quel ragionamento che sinceramente non riesco a seguire (scarse capacità) si possa arrivare a provare la disuguaglianza.
Qualcuno ha una dimostrazione più facile/comprensibile..oppure mi può spiegare meglio quella di fur3770?
(mi resta oscuro anche il significato delle parentesi simil-quadrate)
scusate l'ignoranza...sto cercando di imparare
sei troppo scarso per capire le mie dimostrazioni
Sempre lei...
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?s ... 5&t=152850
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?s ... 5&t=152850
Al volo (non sarò proprio formalissimo), una possibile interpretazione geometrica per il caso $ $n=2 $. Non so se sia possibile generalizzare elementarmente in tale direzione, io comunque la butto lì sperando che magari a qualcuno venga qualche idea (sempre in tale direzione 
).
Siano $ a=(a_1, a_2) $ e $ b=(b_1,b_2) $ vettori del piano $ \mathbb{R}^2 $. Le prime due condizioni ci dicono che il loro modulo è $ $1 $, la terza invece è una condizione di ortogonalità tra i due vettori dati, che si può vedere anche elementarmente con un po' di geometria analitica del piano. Ciò detto, l'idea è quella di fissare il vettore $ $a $ e cercare i suoi possibili vettori ortogonali (che abbiano poi modulo unitario). In realtà, siccome siamo nel piano, la "direzione ortogonale" è una sola (definita proprio dalla "retta perpendicolare"), quindi se la troviamo siamo sicuri che è quella lì. possiamo passare alle coordinate polari e scrivere che $ a_1=\cos \theta $ e $ a_2=\sin \theta $ per il vettore $ $a $. L'idea più stupida per trovare la direzione ortogonale è la seguente: se $ $\theta $ è in sostanza l'angolo che identifica la direzione di $ $a $, dovrò semplicemente ruotare di novanta gradi, cioè di $ \pi/2 $. Facendo una rotazione "in avanti", troviamo un "candidato" che, con rapidi conti, si vede essere $ (-\sin \theta, \cos \theta) $. Facendo una rotazione "all'indietro", troviamo invece $ (\sin \theta, -\cos \theta) $, che in realtà identifica la stessa direzione del candidato precedente, essendo suo multiplo. Abbiamo esaurito le possibilità perché, come detto prima, la "direzione ortogonale" a una direzione data è una sola, stando nel piano. Dunque il vettore $ $b $ è senz'altro uno dei due candidati appena esposti. Supponendo per esempio che $ b= (b_1, b_2) = (-\sin \theta, \cos \theta) $, possiamo infine valutare la disuguaglianza della tesi. Facendo i conti, viene:
$ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta - 2\sin\theta\cos\theta = 2 \leq 2 $
Con l'altra possibile scelta di $ $b $ esce l'identico risultato.
PS
Il procedimento funziona bene anche usando il piano complesso e i numeri complessi, in realtà è sostanzialmente la stessa cosa.
).Siano $ a=(a_1, a_2) $ e $ b=(b_1,b_2) $ vettori del piano $ \mathbb{R}^2 $. Le prime due condizioni ci dicono che il loro modulo è $ $1 $, la terza invece è una condizione di ortogonalità tra i due vettori dati, che si può vedere anche elementarmente con un po' di geometria analitica del piano. Ciò detto, l'idea è quella di fissare il vettore $ $a $ e cercare i suoi possibili vettori ortogonali (che abbiano poi modulo unitario). In realtà, siccome siamo nel piano, la "direzione ortogonale" è una sola (definita proprio dalla "retta perpendicolare"), quindi se la troviamo siamo sicuri che è quella lì. possiamo passare alle coordinate polari e scrivere che $ a_1=\cos \theta $ e $ a_2=\sin \theta $ per il vettore $ $a $. L'idea più stupida per trovare la direzione ortogonale è la seguente: se $ $\theta $ è in sostanza l'angolo che identifica la direzione di $ $a $, dovrò semplicemente ruotare di novanta gradi, cioè di $ \pi/2 $. Facendo una rotazione "in avanti", troviamo un "candidato" che, con rapidi conti, si vede essere $ (-\sin \theta, \cos \theta) $. Facendo una rotazione "all'indietro", troviamo invece $ (\sin \theta, -\cos \theta) $, che in realtà identifica la stessa direzione del candidato precedente, essendo suo multiplo. Abbiamo esaurito le possibilità perché, come detto prima, la "direzione ortogonale" a una direzione data è una sola, stando nel piano. Dunque il vettore $ $b $ è senz'altro uno dei due candidati appena esposti. Supponendo per esempio che $ b= (b_1, b_2) = (-\sin \theta, \cos \theta) $, possiamo infine valutare la disuguaglianza della tesi. Facendo i conti, viene:
$ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta - 2\sin\theta\cos\theta = 2 \leq 2 $
Con l'altra possibile scelta di $ $b $ esce l'identico risultato.
PS
Il procedimento funziona bene anche usando il piano complesso e i numeri complessi, in realtà è sostanzialmente la stessa cosa.
...