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Siano $ x_1, x_2, \dots, x_n $ numeri reali positivi e sia $ ~S $ la loro somma. Provare che

$ \displaystyle\prod_{i=1}^n (1+x_i)\le\sum_{i=0}^n \frac{S^i}{i!} $

Non dico da dove viene (indovinate un pò), e lo posto qua perchè l'idea che serve per risolverlo mi è parsa bellina... oltretutto meno complicata della soluzione ufficiale proposta

As usual, se non salta fupori una soluzione simile alla mia la posterò, così mi direte se è giusta o se ho cannato paurosamente (cosa molto probabile ) qualcosa...

salva90 ha scritto:Siano $ x_1, x_2, \dots, x_n $ numeri reali positivi e sia $ ~S $ la loro somma. Provare che

$ \displaystyle\prod_{i=1}^n (1+x_i)\le\sum_{i=0}^n \frac{S^i}{i!} $

Non dico da dove viene (indovinate un pò), e lo posto qua perchè l'idea che serve per risolverlo mi è parsa bellina... oltretutto meno complicata della soluzione ufficiale proposta

As usual, se non salta fupori una soluzione simile alla mia la posterò, così mi direte se è giusta o se ho cannato paurosamente (cosa molto probabile ) qualcosa...

Innanzi tutto riscriviamo la disuguaglianza come
$ \displaystyle n! \prod_{i=1}^n (1+x_i)\le\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!} S^i=\sum_{i=0}^n k_i S^i $ dove $ k_i=\frac {n!}{i!} $ è un numero naturale. Ora espandiamo il prodotto a sinistra; diventa:
$ n!(1+x_1+x_2+...+x_1x_2+x_1x_3+...+x_1x_2x_3+...+x_1x_2x_3...x_n) $ dove compaiono tutti i possibili prodotti di fattori distinti. Ora vediamo nel lato destro se questi termini compaiono. Il termine $ x_ax_b...x_i $ con $ m $ fattori distinti può derivare solo dall'espansione della potenza $ S^m $ perchè se l'esponente fosse minore si avrebbero meno fattori $ x_i $, se fosse maggiore se ne avrebbe uno ripetuto. Inoltre il termine $ x_ax_b...x_i $ compare $ m! $ volte nello sviluppo di $ S^m $ (basta pensare in quanti modi si possono ordinare i vari fattori $ S $...). Di conseguenza nel lato destro della disuguaglianza il termine $ x_ax_b...x_i $ compare $ m! \frac {n!}{m!}=n! $, esattamente tante quante nel lato sinistro. Si può vedere allora che tutti i termini del primo lato si possono eliminare con alcuni di destra, mentre a destra rimangono ancora dei termini perchè ne abbiamo tolto uno solo da ogni potenza $ S^m $ che ha $ n^m $ termini. Essendo i termini rimasti prodotto di numeri positivi, essi sono $ \ge0 $. Questo dimostra la disuguaglianza di partenza.
E' facile vedere che l'uguaglianza vale solo nel caso $ n=1 $.

salva90 ha scritto:As usual, se non salta fupori una soluzione simile alla mia la posterò, così mi direte se è giusta o se ho cannato paurosamente (cosa molto probabile ) qualcosa...

Mi potresti dire se la mia soluzione ti pare corretta ed eventualmente postare la tua?

FeddyStra ha scritto:

salva90 ha scritto:As usual, se non salta fupori una soluzione simile alla mia la posterò, così mi direte se è giusta o se ho cannato paurosamente (cosa molto probabile ) qualcosa...

Mi potresti dire se la mia soluzione ti pare corretta ed eventualmente postare la tua?

Sì, la tua mi pare corretta diciamo che in parte usa idee che ho usato anche io.
Per postare la mia aspetto ancora un giorno, non mi sembra corretto bruciare problemi che io stesso posto

$ \displaystyle\prod_{i=1}^n (1+x_i)\le\sum_{i=0}^n \frac{S^i}{i!} $

Per la disuguaglianza di concavita' della funzione $ \log(1+x) $, il membro sinistro e' inferiore a
$ (1+S/n)^n=\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}\frac{S^i}{n^i} $.
d'altro canto, per ogni $ i $
$ n! / (n-i)! = n(n-1)\ldots(n-i+1) \leq n^i $
abbiamo dunque trovato un termine intermedio tra il membro sinistro e quello destro.

La mia idea per risolvere questa disuguaglianza consisteva nell'indurre sugli indici, cioè su n. Chiamiamo $ ~LHS_n $ il lato sinistro della disuguaglianza con n termini, $ ~RHS_n $ il lato destro e $ S_n $ la somma di questi n termini

PASSO BASE:

$ n=2 $
$ 1+x_1+x_2+x_1x_2\le1+x_1+x_2+\frac{x_1^2}{2}+\frac{x_2^2}{2}+x_1x_2 $
cioè
$ x_1^2+x_2^2\ge0 $ , vera sempre


IPOTESI INDUTTIVA:

$ LHS_n \le RHS_n $


PASSO INDUTTIVO:

$ LHS_{n+1}=LHS_n+x_{n+1}LHS_n $ da cui
$ LHS_{n+1}-LHS_n=x_{n+1}LHS_n $ (1)

Per quanto riguarda $ RHS_{n+1} $ si ha che per ogni $ ~i $ ($ 0 \le i\le n+1 $)

$ \displaystyle\frac{(S_n+x_{n+1})^i}{i!}\ge \frac {S_n^i}{i!}+\frac{x_{n+1}S_n^{i-1}}{(i-1)!} $

il che significa che $ RHS_{n+1}\ge RHS_n + x_{n+1}RHS_n $
ossia $ RHS_{n+1}-RHS_n\ge x_{n+1}RHS_n $

segue per ipotesi induttiva che

$ RHS_{n+1}-RHS_n\ge x_{n+1}LHS_n=LHS_{n+1}-LHS_n $

che sommato all'ipotesi induttiva da esattamente la tesi.

FINE


Si noti che ho usato $ \ge $ solo per comodità, in quanto è immediato che i maggiori in realtà sono stretti

elianto84 ha scritto: Per la disuguaglianza di concavita' della funzione $ \log(1+x) $...

Detta anche AM-GM