Divisibilità di polinomi integrali...

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Simo_the_wolf
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Divisibilità di polinomi integrali...

Messaggio da Simo_the_wolf » 23 mag 2007, 02:26

Siano $ P(x),Q(x),R(x),S(x) \in \mathbb{R} [ x ] $. Dimostrare che il polinomio

$ \displaystyle f(x) = \int_1^x P(t)Q(t) dt \int_1^x R(t)S(t) dt $$ \displaystyle - \int_1^x P(t)R(t) dt \int_1^x Q(t)S(t) dt $

è divisibile per $ (x-1) ^4 $

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elianto84
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Messaggio da elianto84 » 23 mag 2007, 14:22

Poiche' f(x) e' un polinomio, basta provare 0=f(1)=f'(1)=f''(1)=f'''(x).
Le prime tre uguaglianze sono abbastanza triviali, l'ultima e' conseguenza del fatto che

$ f'''(1)=\left((PQ)'RS+(RS)'PQ-(RP)'QS-(QS)'PR\right)(1)= $
$ =\left(\sum_{cyc}P'QRS-\sum_{cyc}P'QRS\right)(1)=0 $
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Jacobi
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Messaggio da Jacobi » 23 mag 2007, 15:12

Poi se si volesse dimostrare che l'asserto nn puo essere migliorato ( nel senso che $ (x-1)^5 $ nn divide f(x) ) si dovrebbe dimostrare che f''''(1) e' diverso da zero, ma questo e ovvio :D !

Per elianto84: c'e' un errore di battitura in f'''(1) = 0 ( hai scritto f'''(x) = 0 )

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