Polinomi e trigonometria

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Ponnamperuma
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Polinomi e trigonometria

Messaggio da Ponnamperuma » 19 mag 2007, 13:20

Propongo questo simpatico problema sui polinomi, di origine statunitense, da un MockAIME...

Siano $ x_1,x_2,x_3 $ le radici del polinomio $ x(x-200)(4x+1)=1 $.
Sia poi $ \omega $ tale che $ \omega=\tan^{-1}x_1+\tan^{-1}x_2+\tan^{-1}x_3 $.
Il valore di $ \tan\omega $ può essere scritto come $ \frac{m}{n} $, dove $ m,n\in\mathbb{N} $ e $ (m,n)=1 $. Determinare $ m+n $.

Buon lavoro! :)
La grandezza dell'uomo si misura in base a quel che cerca e all'insistenza con cui egli resta alla ricerca. - Martin Heidegger

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elianto84
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Messaggio da elianto84 » 24 mag 2007, 22:32

Viete's Power!

$ \tan\omega=\tan(\arctan x_1 + \arctan x_2 + \arctan x_3)=\frac{-x_1 x_2 x_3 + \sum_{cyc}x_i}{1-\sum_{cyc}x_i x_j} $$ =\frac{133}{34} $
$ m+n=167 $
Jack alias elianto84 alias jack202

http://www.matemate.it IL SITO

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Ponnamperuma
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Messaggio da Ponnamperuma » 26 mag 2007, 13:20

Non ricordo or ora il risultato, ma l'espressione che hai trovato per $ \tan\omega $ è sacrosanta... Magari potrebbe interessare come si ricava...
Per comodità pongo $ \arctan x_1=a,\arctan x_2=b,\arctan x_3=c $. Dopo di che provo a vedere cosa salta fuori facendo $ \tan(a+b+c)=\tan((a+b)+c) $ e... magia: trovo tangenti di arcotangenti, da cui la meravigliosa semplificazione... provare per credere! :D
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