Massimo prodotto di n numeri

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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shuzz
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Massimo prodotto di n numeri

Messaggio da shuzz » 16 mag 2007, 14:02

Credo che questo risultato sia giusto, ma non riesco a dimostrarlo:

Dati n numeri la cui somma è k il loro massimo prodotto è $ (\frac{k}{n})^n $ , cioè se gli n numeri sono tutti uguali.

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edriv
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Messaggio da edriv » 16 mag 2007, 14:15

Cerca qualcosa sulla disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica!

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dalferro11
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Messaggio da dalferro11 » 16 mag 2007, 15:00

puoi provare una cosa un po' più difficile:
Con le derivate parziali......
la mancanza di cultura matematica si manifesta drasticamente nell'eccessiva precisione di calcolo.

K. F. Gauss

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Ponnamperuma
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Messaggio da Ponnamperuma » 16 mag 2007, 15:09

Detti $ a_1,a_2,...,a_n $ i numeri in questione, vale $ a_1+a_2+...+a_n=k $.
Per definizione $ \displaystyle AM=\frac{a_1+...+a_n}{n}=\frac{k}{n} $, mentre $ GM=\sqrt[n]{a_1a_2...a_n} $.
Per la disuguaglianza fra media aritmetica e media geometrica, $ AM\geq GM $, da cui $ \displaystyle GM^n\leq AM^n \Rightarrow a_1a_2...a_n\leq \left(\frac{k}{n}\right)^n $, laddove l'uguaglianza si ha, come in ogni AM-GM, se tutti gli $ a_i $ sono uguali... c.v.d. :D

P.S.: Per la cronaca, AM sta per "Arithmetic Mean", mentre GM per "Geometric Mean"!
La grandezza dell'uomo si misura in base a quel che cerca e all'insistenza con cui egli resta alla ricerca. - Martin Heidegger

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Marco
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Re: Massimo prodotto di n numeri

Messaggio da Marco » 16 mag 2007, 15:26

shuzz ha scritto:Credo che questo risultato sia giusto, ma non riesco a dimostrarlo:

Dati n numeri la cui somma è k il loro massimo prodotto è $ (\frac{k}{n})^n $ , cioè se gli n numeri sono tutti uguali.
Falso!!!

Prendi k=n=3. Se fosse vero, il massimo dovrebbe essere 1.

Ma se prendi come numeri -10, -10, 23, la somma fa 3, ma il prodotto fa 2300...
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giove
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Messaggio da giove » 16 mag 2007, 15:35

Spero (e suppongo) che i numeri debbano essere tutti positivi :wink:
In questo caso vale la dimostrazione di Ponnamperuma.

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Ponnamperuma
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Messaggio da Ponnamperuma » 16 mag 2007, 16:52

Si, beh, è vero!... Tanto più che la media geometrica è definita solo sui reali non negativi (almeno stando alla dispensa di G.Gilardi, perché K.Kedlaya dimostra AM-GM con reali strettamente positivi!)... :)
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Marco
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Messaggio da Marco » 16 mag 2007, 17:41

Ah sì? Io la parola "positivo" nel messaggio di Schuzz non la vedo scritta da nessuna parte. E mi pare che tutte le espressioni che scrive siano perfettamente sensate anche per numeri negativi. E che ben tre (diconsi: tre) solutori non ne abbiano mai fatto cenno nei loro messaggi.

Morale: prima di applicare un teorema, ricordatevi di verificare le ipotesi.
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Re: Massimo prodotto di n numeri

Messaggio da Ponnamperuma » 16 mag 2007, 18:23

Marco ha scritto:
shuzz ha scritto:Credo che questo risultato sia giusto, ma non riesco a dimostrarlo:

Dati n numeri la cui somma è k il loro massimo prodotto è $ (\frac{k}{n})^n $ , cioè se gli n numeri sono tutti uguali.
Falso!!!
Si stantibus rebus, ho supposto che a questo punto fosse ovvio dedurre l'appartenenza degli $ a_i $ a $ \mathbb{N} $... anche se forse avrei dovuto dimostrarlo! :wink:
Ad ogni modo, chiedo venia per la precipitosità!...
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shuzz
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Messaggio da shuzz » 16 mag 2007, 21:28

Si mi sono dimenticato di dire che i numeri erano positivi. Comunque, come si dimostra che la media geometrica è minore o uguale a quella aritmetica?

pic88
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Messaggio da pic88 » 16 mag 2007, 21:37

ci sono un po' di dimostrazioni qui..
http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic ... inequality

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