Doppia disuguaglianza

[robbieal]

Mi servirebbe una mano per dimostrare questa disuguaglianza. Se n>1 è un intero posito allora si ha che
$ \displaystyle 2\sqrt{n+1} - 2 < \sum_{i=1}^n {1 \over \sqrt{i}}< 2\sqrt{n}-1 $

[julio14]

Allora, vediamo la prima.
Per $ n=2 $ funziona. Ora induzione.
Dimostriamo per $ n+1 $: $ $2\sqrt{n+2}-2<\sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{i}} $
Poniamo $ n+1=k $ e sottraiamo la disequazione di n (k-1): $ $2\sqrt{k+1}-2\sqrt{k}<\frac{1}{\sqrt{k}} $
$ $2\sqrt{k^2+k}-2k<1 $

sistemiamo ed eleviamo al quadrato...
$ $4k^2+4k<4k^2+4k+1 $

$ $0<1 $

Per la seconda procedimento analogo, ma lasciamo $ n $
$ $\sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{i}}<2\sqrt{n+1}-1 $

sottraiamo la diseq di $ n $
$ $\frac{1}{\sqrt{n+1}}<2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n} $
$ $1<2n+2-2\sqrt{n^2+n} $

$ $2\sqrt{n^2+n}<2n+1 $

$ $4n^2+4n<4n^2+4n+1 $

$ $0<1 $

[edit]ops! [/edit]

[robbieal]

Ok julio, perfetto! Grazie mille!

[marcuz]

sottraiamo la diseq di $ n $

$ $\frac{1}{\sqrt{n+1}}<2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n} $

$ $1<2n+2-2\sqrt{n^2-n} $

Credo che sia:
$ $1<2n+2-2\sqrt{n^2+n} $

e quindi
$ $2\sqrt{n^2+n}<2n+1 $

$ $4n^2+4n<4n^2+4n+1 $

$ $0<1 $

[julio14]

Già! Hai ragione! infatti a mano mi veniva $ 0<1 $, ma visto che il risultato era giusto lo stesso non mi sono preoccupato di ricontrollare!