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Sia a un numero reale positivo.
Mostrare che $ P(x)=a^3x^3+a^2x^2+ax+a $
ha una radice intera sse $ a=1 $

Per la cronaca, viene dalla fake edition v.3 di Parma 2007 e con la soluzione di questo esercizietto un 'certo' moderatore ci ha veramente ammazzato
[Lui ci ha proposto una soluzione incasinatissima mentre col senno di poi credo ve ne sia una molto più semplice e breve ]

$ P(x) =a^3x^3+a^2x^2+ax+a $
affinché $ P(x) $ sia $ 0 $, $ x $deve essere negativa.

$ -a^3x^3 -ax =a +a^2x^2 $

$ -a^2x^3-x=1+ax^2 $

$ -x(a^2x^2 +1) =ax^2 +1 $

$ x= -{\frac{ax^2+1}{a^2x^2+1}} $

$ x= -{\frac{a^2x^2+1-a^2x^2+ax^2}{a^2x^2+1}} $

$ x=-1+{\frac{a^2x^2-ax^2}{a^2x^2+1}} $

se $ x $ è intera, $ a^2x^2+1 | a^2x^2 -ax^2 => a^2x^2 -ax^2 \geq\ a^2x^2 +1 $

$ -ax^2 \geq\ 1 $

$ x^2 > 0 $ , $ a>0 => $ assurdo

allora deve essere $ a^2x^2 -ax^2 = 0 $

$ x^2 (a-1) =0 => a=1 $

Facciamo un pò di esercizio nello scrivere soluzioni decentemente...

Sia a un numero reale positivo. $ $ P(x)=a^3x^3+a^2x^2+ax+a $ ha una radice intera $ $\Leftrightarrow a=1 $

"$ $\Leftarrow $": banalmente se $ $ a=1 \Rightarrow P(x)=x^3+x^2+x+1 \Rightarrow P(-1)=0 \Rightarrow -1 $ radice intera di $ $ P(x) $

"$ $\Rightarrow $": Sia $ $q $ una radice intera di $ $P(x)\Rightarrow P(q)=0\Rightarrow a^3q^3+a^2q^2+aq+a=0 $$ \Rightarrow a(a^2q^3+aq^2+q+1)=0 $.

Siccome $ $a\in\mathbb{R^+} $ allora per la legge di annullamento del prodotto $ $a^2q^3+aq^2+q+1=0 $.

Risolvendo nella variabile a si ha $ $a=\frac{-q^2 \pm \sqrt{\Delta}}{2q^3} $.
Affinchè a sia un reale allora il discriminante dev'essere non negativo, quindi $ $q^3(-3q-4)\geq 0 $.
Facendo un pò di conti si arriva a $ $ 0 \geq q \geq -\frac{4}{3} $ e siccome q è intero per ipotesi avremo solo due possibilità:

- $ $q=0 $ : tenendo conto che $ $a^3q^3+a^2q^2+aq+a=0 $ si ha che $ $a=0 $, non accettabile perchè $ $a\in\mathbb{R^+} $

- $ $q=-1 $ : allora $ $a=\frac{-(-1)^2 \pm \sqrt{1}}{2}=\frac{-1\pm 1}{2} $ quindi $ $a=0 $ (non accettabile) oppure $ $a=1 $, che è quindi l'unico valore accettabile.

in effetti la tua è un pò più carina...

La funzione p(x) è crescente in x (p'(x)=3a^3x^2+2a^2x+a=a(3a^2x^2+2ax+1) che è positivo), quindi ha al massimo uno zero.
p(0)=a che è positivo (strettamente)
p(-2)=-8a^3+4a^2-2a+a=-a(8a^2-4a+1) che è negativo (strettamente)
Quindi se ha uno zero intero, lo ha in -1.
p(-1)=-a^3+a^2-a+a=a^2(1-a)
Quindi a=1 (perchè deve essere positivo).

(si può dimostrare la crescenza anche scrivendo p(x) come cubo di funzione lineare crescente più funzione lineare crescente).