sommatoria

[karnov]

salve a tutti io sono nuovo e non tanto esperto, mi servirebbe sapere
quanto vale la sommatoria di k da zero a n di k^3 in termini di polinomio in n.
dovrebbe essere un polinomio di 4° grado.

[SkZ]

fatto carino
$ $\sum_{k=1}^nk^3=\left(\sum_{k=1}^nk\right)^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$ $

tanto per renderlo piu' utile posto anche per le altre potenze fino all'ottava

$ $\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2}$ $

$ $\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ $

$ $\sum_{k=1}^nk^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$ $

$ $\sum_{k=1}^nk^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$ $

$ $\sum_{k=1}^nk^5=\frac{n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12}$ $

$ $\sum_{k=1}^nk^6=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)}{42}$ $

$ $\sum_{k=1}^nk^7=\frac{n^2(n+1)^2(3n^4+6n^3-n^2-4n+2)}{24}$ $

$ $\sum_{k=1}^nk^8=\frac{n(n+1)(2n+1)(5n^6+15n^5+5n^4-15n^3-n^2+9-3)}{90}$ $

[pic88]

suggerimento: se sai già che è un polinomio di 4° grado (in genere la somma delle potenze i- esime è un polinomio di grado i+1) allora trova il valore che assume in 5 punti (in genere in i+2 punti) e ricavi il polinomio

[karnov]

grazie mi siete stati di grandissimo aiuto.

[karnov]

suggerimento: se sai già che è un polinomio di 4° grado (in genere la somma delle potenze i- esime è un polinomio di grado i+1) allora trova il valore che assume in 5 punti (in genere in i+2 punti) e ricavi il polinomio

avevo già pensato a fare quello che dici ma non conosco un metodo veloce ed efficiente per farlo, mi potresti dare qualche dritta

[SkZ]

per aggiungere pepe alla faccenda si puo' iniziare a dimostrare se e' generale che

$ $\forall m>0 , \sum_{k=1}^nk^{2m+1}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 P_{2m-2}(n)$ $

$ $\forall m>0 , \sum_{k=1}^nk^{2m}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} P_{2m-2}(n)$ $

a quel punto la faccenda e' un po' piu' semplice.
per il resto e' calcolo matriciale. meglio avvalersi di un calcolatore quando la potenza aumenta

[pic88]

Tre metodi (a dire il vero non molto brevi). Il primo è quello spontaneo, faccio tante equazioni quante sono le incognite (i coefficienti del polinomio). Se nessuna equazione è combinazione lineare delle precedenti il sistema ha soluzione, e lo risolvo a mano.

Illustro il secondo metodo nel tuo caso.
Il polinomio ha grado 4, si ha ovviamente p(0)=0, p(1)=1, p(2)=1+8=9, p(3)=9+27=36, p(4)=100.

Da p(0)=0 segue che
$ p(x)=q_1(x)x $ dove $ q_1 $ è un polinomio di grado 3 (Ruffini).
Pongo $ x= 1 $ nell'ultima espressione, e otengo $ q_1(1)=1 $.
Allora $ q_1(x)=q_2(x)(x-1)+1 $. Pongo $ x=2 $ nell'ultima espressione e ottengo $ q_2(2) $. E così via. Arriverò a determinare $ q_4(x) $ (che ha grado 0 e dunque è una costante). A ritroso ricostruisco il polinomio.

Altro modo, utile sempre per polinomi di grado piccolo (forse il più rapido):
chiamo T il prodotto x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) e scrivo
$ p(x)=+A\frac{T}{x}+B\frac{T}{x-1}+C\frac{T}{x-2}+D\frac{T}{x-3}+E\frac{T}{x-4} $
(ho usato questa scrittura per brevità, ma osserva che ogni frazione si semplifica. Quando scrivi il polinomio in quel modo devi aver già semplificato, sennò non ha senso dire ad es p(0)=0). Trovo i valori di A,B, C, D, E usando le condizioni. Ad es p(0)=0 diventa 0=A(-1)(-2)(-3)(-4), A=0 e così via. Spero sia chiaro

[karnov]

grazie mi siete stati di grande aiuto, tutto chiaro.

[Jacobi]

Oppure potresti trovare un polinomio ( nel caso tuo ) di quarto grado che abbia una radice nulla ( ossia che non abbia il termine noto ) tale che:
P(x) - P(x-1) = x^3 ( e si puo fare facilmente sfruttando l'uguaglianza fra polinomi ), e quindi fare P(n) per ottenere la sommatoria, perche:

1^3 + 2^3 + ... + (n-1)^3 + n^3 =
= (P(1) - P(0)) + (P(2) - P(1)) + ... + (P(n-1) - P(n-2)) + (P(n) - P(n-1)) =
=P(n) - P(0)

ma per ipotesi e' P(0) = 0, quindi P(n) - P(0) = P(n)

In generale per ottenere la somma delle potenze i-esime dei primi n numeri naturali basta trovare un polinomio di grado i+1, privo di termine noto, tale che:

P(x) - P(x-1) = x^i, e quindi fare P(n)