WC 07 TST A3

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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piever
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WC 07 TST A3

Messaggio da piever » 28 gen 2007, 20:19

Per aspiranti suicidi, posto questa splendida disuguaglianza che (come del resto tutti gli altri 19 stagisti del winter) non ho assolutamente saputo risolvere in gara (e della quale al momento non conosco che pochi stralci della soluzione).

Siano a,b,c i lati di un triangolo.

Dimostrare:

$ \displaystyle\frac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{c+a-b}}{\sqrt{c}+\sqrt{a}-\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{a+b-c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}\leq 3 $

Bonne chance...
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Melkor M.
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Re: WC 07 TST A3

Messaggio da Melkor M. » 30 gen 2007, 23:18

Visto che nessuno posta niente eccovi la mia soluzione, non troppo standard ma veloce:

Applico la disugliaglianza di jensen sulla funzione a tre variabili $ \displaystyle f(a,b,c)=\frac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}} $, nell'ipotesi che sia concava:

$ \displaystyle\frac{1}{3}(f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b))\leq f(\frac{a+b+c}{3}\frac{a+b+c}{3}\frac{a+b+c}{3}) $

Noto che la disuguaglianza appena scritta è equivalente a

$ \displaystyle\frac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{c+a-b}}{\sqrt{c}+\sqrt{a}-\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{a+b-c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}\leq 3 $

Quindi rimane da dimostrare che $ \displaystyle\frac{\partial f(a,b,c)}{\partial a} $ e $ \displaystyle\frac{\partial f(a,b,c)}{\partial b} $ sono decrescenti nelle variabili a e b (non tratto il caso c perché f è simmetrica per b e c).
E qua ci voleva qualche conto, non li posto, comunque si utilizza l'ipotesi che a b e c sono lati di un triangolo e torna.

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Sisifo
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Messaggio da Sisifo » 31 gen 2007, 16:26

È quel "qualche conto" che spaventa.. :D
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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 31 gen 2007, 18:16

Allora, visto che per una volta la so fare anch'io, chiacchiero un po'.
Tutti avrete provato a sostituire a=x+y, b=y+z, c=z+x (che mi pare si chiamino sostituzioni di Ravi). E vi sarete accorti che veniva fuori una cosa di questo tipo
$ \displaystyle\sum_{\textrm{cyc}}\frac{\sqrt{2z}}{\sqrt{\textrm{schifo}}} $
Bene ... ma sarete tutti d'accordo che lo schifo è meglio averlo a numeratore, di solito (e anche qui ... si prova un po' e si vede che questa strada non è proficua). Quindi, osserviamo che, fondamentalmente, la nostra sostituzione si poteva dire come: diamo un nome ai tre numeratori. Visto che invece quel che sembra meglio è dare un nome ai denominatori, facciamolo.
$ x=\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a} $ e cicliche
Ora, si ha che $ \sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}\geq\sqrt{b+c}-\sqrt{a}>0 $. Quindi $ x,y,z>0 $.
Ora basta ricavare i numeratori e ottenere
$ \displaystyle\sum_{\textrm{cyc}}\frac{\sqrt{x^2+xy+xz-yz}}{x}\stackrel{?}{\leq}3\sqrt{2} $
Da qui dovreste saper andare avanti da soli...
E' così folle come tentativo?

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