nel mondo c'è disuguaglianza.... :(

[mattilgale]

allora...

dati $ a,\ b,\ c\in\mathbb{R} $ e tali che

$ \displaystyle \frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}=2 $

dimostrare che

$ ab+bc+ca\leq \frac{3}{2} $

[pi_greco_quadro]

cancellato

[girino]

non è per caso


$ \displaystyle\sum_{cyc}(1-x)(1-y)z\leq 3xyz\Leftrightarrow\sum_{cyc}z(1-x-y)\leq 0 $

forse mi sbaglio..

[Sosuke]

Ne ricaviamo
$ \displaystyle a=\sqrt{\frac{1-x}{x}}, b=\sqrt{\frac{1-y}{y}}, c=\sqrt{\frac{1-z}{z}} $, con $ \displaystyle x,y,z\leq 1 $

Così non si rischia di avere un numero negativo sotto radice?

[SkZ]

no perche' $ ~x,y,z\in(0;1] $

[Sosuke]

ah si giusto... ora ho notato meglio come ha ridefinito a,b e c.... ok grazie...

[mattilgale]

pi-quadro mi pare sbagliata

il passaggio di AM-GM all'inizio non torna... non è quello il risultato

[edriv]

Posto la mia soluzione.

L'idea di base è:
$ ~ ab+bc+ca \le \frac 32 $... questo ricorda misteriosamente la nota disuguaglianza $ ~ \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \le \frac 32 $ in un triangolo.
Quindi cercherò di ridurmi a questa, e son solo conti.

Abbiamo $ ~ \frac 1 {1+c^2} \le 1 $ quindi $ ~ \frac 1 {a^2+1} + \frac 1 {b^2+1} \ge 1 $ da cui, cancellando i denominatori, $ ~ a^2b^2 \le 1 $ o $ ~ ab \le 1 $.

Quindi sostituisco: $ x=bc=\cos \alpha $ e cicliche.
Allora $ ~ a^2 = \frac {yz}x $.
Sostituisco tutto nella condizione iniziale e cancello i denominatori:
$ ~ \sum x(y+xz)(z+xy) = (x+yz)(y+zx)(z+xy) $
Sviluppo, cancello tutto quello che posso e divido per xyz. Ottengo:
$ ~ x^2+y^2+z^2 + 2xyz = 1 $
Ora, il mio scopo è dimostrare che x,y,z sono i coseni di un triangolo (acutangolo, addirittura, visto che son positivi)
Cioè $ ~ \cos (\beta + \gamma) = \cos \alpha $
$ ~\cos \beta \cos \gamma - \sin \beta \sin \gamma = \cos \alpha $
$ ~ yz-x = \sin \beta \sin \gamma $
Elevando al quadrato (sarebbero da sistemare i segni, ma non ho voglia):
$ ~ (yz-x)^2 = \sin^2 \beta \sin^2 \gamma = (1-y^2)(1-z^2) $
Che, se lo sistemiamo, diventa:
$ x^2+y^2+z^2+2xyz = 1 $

Ora sappiamo che x,y,z sono i coseni di un triangolo acutangolo. Il fatto (noto) che
$ \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \le \frac 32 $
segue semplicemente da Jensen. Vale anche per il triangolo ottusangolo, ma non si fa con Jensen, e soprattutto non ci serve.