Derivate e simmetrie

follett · Messaggio da **follett** » 22 ott 2006, 16:12

Sia F una funzione da R a R che può essere pari o dispari.
la sua derivata avrà simmetria (pari o dispari)?

io penso di si... ma non riesco a dimostrarlo... qualcuno mi può dare una mano? grazie

Sisifo · Messaggio da **Sisifo** » 22 ott 2006, 16:52

$ f(x)=f(-x) \rightarrow f'(x)=-f'(-x) $
$ f(x)=-f(-x) \rightarrow f'(x)=f'(-x) $
Per dimostrarle devi solo derivare membro a membro le prime e ottieni le seconde (usa la formula per la derivata di funzioni composte!)

follett · Messaggio da **follett** » 22 ott 2006, 17:52

è vero! che cavolata che era!

Mondo · Messaggio da **Mondo** » 27 gen 2008, 22:19

per dimostrare l'implicazione opposta, ovvero
$ f'(x)=f'(-x) \rightarrow f(x)=-f(-x) $
$ f'(x)=-f'(-x) \rightarrow f(x)=f(-x) $
basta integrare membro a membro?

pic88 · Messaggio da **pic88** » 28 gen 2008, 17:57

Non mi risulta che x^3+1 sia dispari, eppure la sua derivata è pari. Però puoi divertirti a dimostrare che se f' è dispari allora f è pari.

Mondo · Messaggio da **Mondo** » 29 gen 2008, 00:48

ok, aggiungiamo alle hp precedenti che f(0)=0.
Ora la tesi è dimostrabile?

pic88 · Messaggio da **pic88** » 30 gen 2008, 15:08

Beh, per chi conosce il teorema fondamentale del calcolo (ahimè, qui non siamo in MNE..), la primitiva di f che fa 0 in 0 è la funzione che a x associa l'integrale di f con estremi 0 e x, funzione che notoriamente assume valori opposti in x e -x. Altrimenti, integrando i due lati vedi che f(x)= -f(-x) + c ove c è una costante, e ponendo la condizione nell'origine trovi c=0.

Quindi in sostanza sì, è dimostrabile (e pertanto potrebbe essere "vero"

)