India MO 2002 - es 3

[Sisifo]

Questa disuguaglianza forse é facile, ma a me pare molto carina..

Dimostrare che per tutti gli $ x, y \in \mathbb{R}, x+y=2 $,
$ x^3 y^3 (x^3 + y^3) \le 2 $
E dire quando si verifica l'uguaglianza.

[LeopoldoXII]

$ x^3y^3(x^3+y^3)=x^3y^3(x+y)(x^2-xy+y^2)=2(xy)^3(4-3xy) $

La disuguaglianza diventa quindi:
$ 3(xy)^4-4(xy)^3+1 \geq 0 $

Scomponendo con Ruffini si ottiene:
$ [3(xy)^2+2xy+1](xy-1)^2 \geq 0 $

che è sempre vera. L'uguaglianza si ottiene per $ x=y=1 $

Ma probabilmente esisterà una soluzione più breve e meno banale...

[enomis_costa88]

La disuguaglianza diventa facilmente (come fatto da leopoldo)
$ 3p^4-4p^3+1\ge 0 $
Ma per AM-GM:
$ \frac{p^4+p^4+p^4+1}{4} \ge (|p|)^3\ge p^3 $ da cui la tesi.
Uguaglianza sse$ p^4=1 $ e |p|=p ovvero p=1 (da cui x=y=1).