equazione polinomiale

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piazza88
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equazione polinomiale

Messaggio da piazza88 » 03 ott 2006, 16:46

chiedo aiuto con il seguente esercizio, grazie in anticipo.


Considera l'equazione polinomiale in R, di grado pari p=2n $ (n\in Z^{+}) $ e reciproca di 1.a specie,

A(x)=$ a_{0}x^{p}+a_{1}x^{p-1}+a_{2}x^{p-2}+...+a_{n}x^{n}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0 $, (1)
con $ a_{j}\in\mathds{R} $ (j=0,1,2,...,n) $ \wedge a_{0}\neq0 $.

Generalizza ai gradi $ p\geq4 $ il metodo risolvente per l'eq. (1):
1.1 verifica che A$ (x_{0})=0\Longleftrightarrow A(1/x_{0})=0 $ ;
1.2 verifica e giustifica l'equivalenza della rappresentazione (1) alla forma $ a_{0}(x^{n}+1/ x^{n})+a_{1}(x^{n-1}+1/x^{n-1})+... $ $ ...+a_{n-2}(x^{2}+1/x^{2})+a_{n-1}(x+1/x)+a_{n}=0 $; (2)
1.3 fissato il cambio di variabile
w:=x+1/x (3)
(detta variabile reciproca di ordine 1), verifica l'identità ricorsiva
$ x^{k}+1/x^{k}\equiv w(x^{k-1}+1/x^{k-1})-(x^{k-2}+1/x^{k-2}) $ (4)
di ordine k=2,3,...,n
1.4 mediante l'identità (4), genera consecutivamente le espressioni , in termini di w, dei binomi $ x^{k}+1/x^{k} $ di ordine k crescente presenti nell'eq. (2),
$ x^{2}+1/x^{2}=w^{2}-2 x^{3}+1/x^{3}=w^{3}-3w x^{4}+1/x^{4}=... (5) etc. $
Pertanto, dalle identità (5), l'eq. (2) si trasforma in un'equazione polinomiale di grado n=p/2 vs la variabile w, A(w)=0. Infine, ogni radice w= $ \={w} $ di tale equazione genera una coppia di radici reciproche dell'eq. (1) invertendo l'eq. (3),
$ \={x}_{\pm}=(\={w}\pm\sqrt{\={w}^{2}-4})/2 $[/tex]

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