Cari vecchi automorfismi di campo

[EvaristeG]

Sarà vecchio e noioso, ma è sempre istruttivo :
(i) Determinare tutte le funzioni $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ tali che $ f(x+y)=f(x)+f(y) $ e $ f(xy)=f(x)f(y) $
(ii) Trovare almeno 2 funzioni $ g:\mathbb{C}\to\mathbb{C} $ tali che $ g(x+y)=g(x)+g(y) $ e $ g(xy)=g(x)g(y) $

(ah, ok, per ogni x,y in R o in C).

PS : (inutile) tali funzioni si dicono automorfismi di campo

[EvaristeG]

Ma dai... nessuno?

[MdF]

Sarà che questa Algebra è incomprensibile e noiosa...
Comunque è bello notare che devo dare l'esame di Algebra e non ho uno straccio di idea su come risolverlo, grazie EvG.

[Catraga]

Tutti si son dimenticati le equazioni funzionali? Gravissimo!
Suvvia, che e' un classico!
E non serve aver fatto un esame di algebra... basta aver fatto la terza liceo!

[MdF]

Tutti si son dimenticati le equazioni funzionali? Gravissimo!
Suvvia, che e' un classico!
E non serve aver fatto un esame di algebra... basta aver fatto la terza liceo!

Mai fatta, mi spiace.

[Simo_the_wolf]

Preso dalla compassione di questo topic ancora senza risposta...

1) $ f(x+y^2)=f(x)+f(y^2) = f(x) + f^2(y) \geq f(x) $

Quindi se $ x\geq y $ allora $ f(x) \geq f(y) $ e quindi, essendo monotona e lineare, la soluzione su $ R $ è $ f(x)=ax $.
Sostituendo ricavo $ a \in \{ 0,1 \} $

2) Risolviamo anche questa và...

$ g(a+ib)=g(a)+g(ib)=g(a)+g(i)g(b) $
$ g(i)g(i)=g(-1) $ ==> $ g(i) \in \{-i,i,0 \} $

$ g $ è, sui reali, o l'identità o la funzione nulla, quindi abbiamo che:
$ g(a+ib)=a+ib $ oppure $ g(a+ib)=a-ib $ oppure $ g(a+ib)=0 $

che sono tutte e sole le funzioni che risolvono.

[Nonno Bassotto]

2) Risolviamo anche questa và...

$ g(a+ib)=g(a)+g(ib)=g(a)+g(i)g(b) $
$ g(i)g(i)=g(-1) $ ==> $ g(i) \in \{-i,i,0 \} $

$ g $ è, sui reali, o l'identità o la funzione nulla, quindi abbiamo che:
$ g(a+ib)=a+ib $ oppure $ g(a+ib)=a-ib $ oppure $ g(a+ib)=0 $

che sono tutte e sole le funzioni che risolvono.

Attenzione: stai assumendo che g mandi R in R, che in generale non sara' vero. Di automorfismi di C ce ne sono infiniti. Non per niente la domanda chiedeva solo di esibirne uno non banale, e non di trovarli tutti

[EvaristeG]

Già ... il problema è che quei tre sono gli unici che fissano i reali dentro i complessi, oppure (per chi sa cos'è la continuità) sono gli unici tre automorfismi continui di C, ma in generale si può dimostrare che esistono $ 2^{\aleph_0} $ automorfismi del campo complesso... tantini, insomma.

[Simo_the_wolf]

Già già... chiedo venia

Un po' OT da MNE: se predessi una base di Hamel e assegnassi oculatamente valori alle immagini degli elementi della base in modo da renderla moltiplicativa?