Cari vecchi automorfismi di campo
Cari vecchi automorfismi di campo
Sarà vecchio e noioso, ma è sempre istruttivo :
(i) Determinare tutte le funzioni $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ tali che $ f(x+y)=f(x)+f(y) $ e $ f(xy)=f(x)f(y) $
(ii) Trovare almeno 2 funzioni $ g:\mathbb{C}\to\mathbb{C} $ tali che $ g(x+y)=g(x)+g(y) $ e $ g(xy)=g(x)g(y) $
(ah, ok, per ogni x,y in R o in C).
PS : (inutile) tali funzioni si dicono automorfismi di campo
(i) Determinare tutte le funzioni $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ tali che $ f(x+y)=f(x)+f(y) $ e $ f(xy)=f(x)f(y) $
(ii) Trovare almeno 2 funzioni $ g:\mathbb{C}\to\mathbb{C} $ tali che $ g(x+y)=g(x)+g(y) $ e $ g(xy)=g(x)g(y) $
(ah, ok, per ogni x,y in R o in C).
PS : (inutile) tali funzioni si dicono automorfismi di campo
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Preso dalla compassione di questo topic ancora senza risposta...
1) $ f(x+y^2)=f(x)+f(y^2) = f(x) + f^2(y) \geq f(x) $
Quindi se $ x\geq y $ allora $ f(x) \geq f(y) $ e quindi, essendo monotona e lineare, la soluzione su $ R $ è $ f(x)=ax $.
Sostituendo ricavo $ a \in \{ 0,1 \} $
2) Risolviamo anche questa và...
$ g(a+ib)=g(a)+g(ib)=g(a)+g(i)g(b) $
$ g(i)g(i)=g(-1) $ ==> $ g(i) \in \{-i,i,0 \} $
$ g $ è, sui reali, o l'identità o la funzione nulla, quindi abbiamo che:
$ g(a+ib)=a+ib $ oppure $ g(a+ib)=a-ib $ oppure $ g(a+ib)=0 $
che sono tutte e sole le funzioni che risolvono.
1) $ f(x+y^2)=f(x)+f(y^2) = f(x) + f^2(y) \geq f(x) $
Quindi se $ x\geq y $ allora $ f(x) \geq f(y) $ e quindi, essendo monotona e lineare, la soluzione su $ R $ è $ f(x)=ax $.
Sostituendo ricavo $ a \in \{ 0,1 \} $
2) Risolviamo anche questa và...
$ g(a+ib)=g(a)+g(ib)=g(a)+g(i)g(b) $
$ g(i)g(i)=g(-1) $ ==> $ g(i) \in \{-i,i,0 \} $
$ g $ è, sui reali, o l'identità o la funzione nulla, quindi abbiamo che:
$ g(a+ib)=a+ib $ oppure $ g(a+ib)=a-ib $ oppure $ g(a+ib)=0 $
che sono tutte e sole le funzioni che risolvono.
- Nonno Bassotto
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Attenzione: stai assumendo che g mandi R in R, che in generale non sara' vero. Di automorfismi di C ce ne sono infiniti. Non per niente la domanda chiedeva solo di esibirne uno non banale, e non di trovarli tuttiSimo_the_wolf ha scritto:2) Risolviamo anche questa và...
$ g(a+ib)=g(a)+g(ib)=g(a)+g(i)g(b) $
$ g(i)g(i)=g(-1) $ ==> $ g(i) \in \{-i,i,0 \} $
$ g $ è, sui reali, o l'identità o la funzione nulla, quindi abbiamo che:
$ g(a+ib)=a+ib $ oppure $ g(a+ib)=a-ib $ oppure $ g(a+ib)=0 $
che sono tutte e sole le funzioni che risolvono.
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