sns 2006-2007, es. 6

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Avatar utente
hydro
Messaggi: 216
Iscritto il: 07 apr 2005, 17:11
Località: milano

sns 2006-2007, es. 6

Messaggio da hydro » 01 set 2006, 21:17

(1)
Disegnare la regione di piano delle coppie $ (x,y) $

tali che $ \forall \xi \in [0, \pi] $

$ x \sin \xi + y \sin (2 \xi) \ge 0 $

poi c'era un punto (2) ma non mi ricordo la disequazione, e per evitare di scrivere cavolate non la metto, invito chi se la ricordi ad aggiungerla

gian
Messaggi: 114
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Brugine (PD)

Messaggio da gian » 02 set 2006, 11:14

Dire per quali valori di $ t $ esiste $ \xi \in [0;\pi] $ tale che

$ (\sin(2\xi)+4\sin\xi)t^2+(3t+4)\sin(2 \xi)<0 $

ciao ciao
ciao by gian

Avatar utente
genius88
Messaggi: 69
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Piove di Sacco, Padova

Messaggio da genius88 » 03 set 2006, 19:24

Non vorrei fare il saputello spocchioso che ha appena terminato la quarta (e quindi anche goniometria), ma questo non era certo un esercizio irresistibile a mio avviso (nonostante sia il primo che leggo di matematica tra quelli per le ammissioni alla sns un pò per curiosità).
Provo a scrivere la soluzione (se non ho compreso bene il testo sono convinto che mi beccherò uno "scemo scemo" all'arrivo allo stage di pisa):
1) la disequazione si può scrivere anche come $ x \sin \xi+2y \sin \xi \cos \xi \geq 0 $ raccogliamo e otteniamo $ \sin \xi(x+2y \cos \xi) \geq 0 $ essendo $ \xi $ tra 0 e $ \pi $, $ \sin \xi \geq 0 $ nel caso uguale a 0 la disequazione è sempre verificata, quindi la disequazione è vera se $ x+2y \cos \xi \geq 0 $ quindi $ x \geq -2y \cos \xi $.
$ -2 \cos \xi $ può raggiugere come valore massimo 2 con $ \xi =\pi $ quindi se la disequazione deve essere valida per ogni $ \xi $ si può modificare in $ x \geq 2y $.
Questa equazione disegna nel piano un semi piano delimitato dalla retta $ x=2y $ che contiene il punto (1;0)
pippiripò

Avatar utente
Gauss_87
Messaggi: 294
Iscritto il: 21 gen 2006, 17:20
Località: Pisa

Messaggio da Gauss_87 » 03 set 2006, 20:03

genius88 ha scritto:quindi se la disequazione deve essere valida per ogni $ \xi $ si può modificare in $ x \geq 2y $.
Questa equazione disegna nel piano un semi piano delimitato dalla retta $ x=2y $ che contiene il punto (1;0)
Counter Example: $ (-1 , -1) $ verifica il tuo semipiano, eppure sostituendo, dopo 2 passaggi:

$ \cos(\xi) \leq - \frac{1}{2} $ è FALSA $ \forall \xi \in [0, \pi] $ :wink:

Io proverei a verifcare che succede in $ \xi = \frac{\pi}{2} $ da cui una condizione da verificare SEMPRE e mettere a sistema con il tuo semipiano "geniale" :!:
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza

Avatar utente
genius88
Messaggi: 69
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Piove di Sacco, Padova

Messaggio da genius88 » 03 set 2006, 20:57

Giusto, grazie per la correzione, sarei stato bocciato!!!!
Quindi se $ y \geq 0 $ allora $ x \geq 2y $ e se $ [tex] $y<0$ [tex] $ allora $ x \geq -2y $ in poche parole quindi $ x \geq \left|2y\right| $, si ottiene sempre un semi piano che questa volta è delimitato da una spezzata, $ x=\left|2y\right| $, formata da due semirette che partono dall'origine, la prima appartenente alla retta $ x=2y $ nel tratto in cui si trova nel primo quadrante, la seconda $ x=-2y $ nel tratto in cui si trova nel quarto quadrante (il punto (1;0) rimane).
Siccome ( fino ad adesso :!: ) ho commesso un solo errore, secondo le regole della indimenticabile palla asino sono a "s...." , altri quattro (o uno grave) ed arrivo a "scemo" :!:
pippiripò

Avatar utente
genius88
Messaggi: 69
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Piove di Sacco, Padova

Messaggio da genius88 » 03 set 2006, 21:44

Questa la stavo scrivendo mentre gauss mi correggeva!
2) la disequazione si può modificare in:
$ (2 \sin \xi \cos \xi +4 \sin \xi)t^2+(3t+4)2 \sin \xi \cos \xi<0 $
e
$ 2 \sin \xi[( \cos \xi +2)t^2+(3t+4) \cos \xi]<0 $
poichè $ \sin \xi \geq 0 $ o $ \xi=\frac{\pi}{2} $ e allora l'ipotesi non è soddisfatta, oppure $ ( \cos \xi +2)t^2+(3t+4) \cos \xi<0 $, allora
$ ( \cos \xi +2)t^2+3t \cos \xi+4 \cos \xi<0 $.
Qui trattiamo il primo membro come se fosse un trinomio di secondo grado, il coefficiente del termine massimo è sempre positivo quindi dovremo prendere i valori interni alle due radici del polinomio e $ \Delta=9 \cos^2 \xi-16 \cos \xi (\cos \xi+2)=-7 \cos^2 \xi-32 \cos \xi $ da cui deriviamo che $ \cos \xi $ si trova tra 0 e$ -\frac{32}{7} $ se vogliamo che il delta sia positivo, che equivale a dire che se il coseno è positivo (cioè $ 0 \geq \xi \geq \pi $), delta è negativo e il primo membro della disequazione è quindi sempre positivo,ciò va contro l'ipotesi quindi non esiste alcun t per cui ogni valore dell'angolo $ \xi $ soddisfi l'equazione data.
pippiripò

Avatar utente
genius88
Messaggi: 69
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Piove di Sacco, Padova

Messaggio da genius88 » 03 set 2006, 21:51

ora che rileggo vi chiedo: sarebbe stato troppo squallido se nel secondo punto dell'esercizio uno avesse risposto <<nessuno poichè con $ \xi=0 $il primo membro della disequazione diventa nullo per ogni valore di t non soddisfacendo l'ipotesi e quindi non esiste nessun t che soddisfi la disequazione per ogni valore di $ \xi $ >> :?: :?: :?:
pippiripò

Simo_the_wolf
Moderatore
Messaggi: 1018
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pescara

Messaggio da Simo_the_wolf » 03 set 2006, 22:30

attenzione! Il testo chiede $ t $ tale che $ \exists \, \xi \in [0,\pi] $ etc... non che lo deve soddisfare sempre...

Avatar utente
Gargantua
Messaggi: 20
Iscritto il: 03 set 2006, 22:24
Località: Sassari

Messaggio da Gargantua » 03 set 2006, 22:41

chiedo scusa, sono un "homo novus" in questo forum.
Mi sembra di aver trovato un'irregolarità nel ragionamento
non esiste alcun t per cui ogni valore dell'angolo soddisfi l'equazione data
Il quesito non chiede di determinare i valori di t per cui OGNI valore dell'angolo xi soddisfi la disequazione. Per cui basta che UN SOLO valore di xi la soddisfi perché il valore di t assegnato sia accettabile.
Per esempio per t= 0 la relazione diventa (pongo xi=§ per comodità):
4sin(2§)<0, cioé 8(sin§)(cos§)<0. Poiché nell'intervallo ]0, pi[ il seno è sempre positivo, la relazione diventa:
cos§<0 che è verificata da qualunque valore tra pi/2 e pi

Dunque t=0 rientra nei parametri fissati dal questito (Questa è solo una controprova, se confermerete il mio ragionamento vi fornirò l'intervallo completo dei valori di t che soddisfano le condizioni richieste)

Avatar utente
Gargantua
Messaggi: 20
Iscritto il: 03 set 2006, 22:24
Località: Sassari

Messaggio da Gargantua » 03 set 2006, 22:51

Potete darmi al volo una dritta su come inserire i simboli nei post?
Altrimenti sono costretto a scannerizzare la mia soluzione manoscritta... :lol: [/u]

EvaristeG
Site Admin
Messaggi: 4742
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da EvaristeG » 03 set 2006, 23:37

Guarda nella sezione latex per imparare il suddetto (è un linguaggio in cui scrivere formule matematiche) e poi schiaffi le formule tra due tag :

Codice: Seleziona tutto

[tex]x^2+y^2+\sin(t\csi)-e^{\pi}=f(x,y,t)[/tex]
ottenendo questo : $ x^2+y^2+\sin(t\csi)-e^{\pi}=f(x,y,t) $

Suggerimento : se vedi una formula e vuoi sapere come è stata ottenuta, lasciaci sopra il puntatore e la descrizione che comparirà è il codice con cui la formula è stata ottenuta.

Avatar utente
Gargantua
Messaggi: 20
Iscritto il: 03 set 2006, 22:24
Località: Sassari

Messaggio da Gargantua » 04 set 2006, 00:02

Grazie! Per il momento ti invio una mail con allegata la mia soluzione.

gian
Messaggi: 114
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Brugine (PD)

Messaggio da gian » 04 set 2006, 08:27

genius88 ha scritto: il coseno è positivo (cioè $ 0 \geq \xi \geq \pi $)

??????????????????
ciao by gian

Avatar utente
genius88
Messaggi: 69
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Piove di Sacco, Padova

Messaggio da genius88 » 04 set 2006, 11:05

scusate per 2 errori
1)ho inteso il problema come quello precedente, se ho sbagliato e voi avete ragione (molto probabile) i t validi si trovano tra
$ \frac{-3 \cos \xi - \sqrt{-7 \cos^2 \xi -32 \cos \xi}}{2 \cos \xi +4} $ e
$ \frac{-3 \cos \xi + \sqrt{-7 \cos^2 \xi -32 \cos \xi}}{2 \cos \xi +4} $
ora bisogna trovare il minimo che raggiunge la prima formula nell'intervallo $ -1 \geq \cos \xi \geq 1 $ ed il massimo che raggiunge la seconda nello stesso intervallo (non so farlo se non con derive6 :!: )
2)intendevo al posto di $ \pi $ $ \frac{\pi}{2} $

sce..
pippiripò

darkcrystal
Messaggi: 694
Iscritto il: 14 set 2005, 11:39
Località: Chiavari

Messaggio da darkcrystal » 04 set 2006, 23:31

La mia soluzione al punto due... ma non garantisco (per comodità, $ x=\xi $)
Con le formule di duplicazione otteniamo
$ 0 > (2 \sin x \cos x + 4 \sin x)t^2 + (3t+4) 2 sin(x) cos(x) $

Possiamo supporre che sin x>0 (altrimenti si avrebbe 0<0)
Pertanto otteniamo
$ (2 \cos x + 4) t^2 + 2(3t+4) \cos x < 0 $, cioè, risolvendo per cos x, $ [tex] $ \cos x (2t^2 + 6t + 8)<-4t^2[/tex]
Si può facilmente verificare che il coefficiente di cos(x) è sempre positivo (modulo errori di calcolo), quindi
$ \cos x < \frac{-2t^2}{t^2+3t+4} $
$ -1 \leq \cos x < \frac{-2t^2}{t^2+3t+4} $
$ -1 < \frac{-2t^2}{t^2+3t+4} $
$ t^2-3t-4<0 $, da cui -1<t<4.
Del resto questa condizione è necessaria, ma è anche sufficiente: basta infatti porre $ \xi =\pi $ per avere una soluzione

Ciao!
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein

Membro dell'EATO

Rispondi