OliForum Matematico

è assegnata una legge che ad ogni coppia di interi x,y associa un intero F(x;y) in modo che
F(x;y+z) = F(y;x) + F(z;x)
per tutti gli interi x,y,z. Si dimostri che
F(x;y) = (xy)F(1;1)

abbiamo
1. $ x=y=z=0 $ dà $ f(0,0)=0 $
2. $ x=y=0 $ dà $ f(0,z)=F(z,0) $
3. $ y=z=0 $ dà $ f(x,0)=f(0,x)=0 $ applicando la 2.
4. $ y=-z $ dà $ f(x,0)=f(-z,x)+f(z,x) $ da cui $ f(-z,x)=-f(z,x) $
5. $ y=0,z=1 $ dà $ f(x,1)=f(1,x) $
la tesi è vera per $ x=1,y=1 $.
supponiamo la tesi vera per le coppie $ (m,n) , (n,m) , (1,m) $ ed $ (1,n). $
- dimostriamola per $ (n,m+1) $
$ f(n,m+1)=f(m,n)+f(1,n)=n(m+1)f(1,1). $
- per $ (n+1,m). $
$ f(n+1,m)=f(m,n+1)+f(0,n+1)=f(m,n+1) $ quindi è dimostrata.
- per $ (n,m-1) $
$ f(n,m-1)=f(m,n)+f(-1,n) $ che per la 4 dà $ f(m,n)-f(1,n)=n(m-1)f(1,1) $
- per $ (n-1,m) $
$ f(n-1,m)=f(m,n-1) $ quindi è vera.

spero sia corretto

la soluzione non la conosco ma non penso che tu possa dare il valore 0 a x,y,z se il testo dice che sono degli interi

HomoPatavinus ha scritto:la soluzione non la conosco ma non penso che tu possa dare il valore 0 a x,y,z se il testo dice che sono degli interi

"Gli interi", per definizione, sono l'insieme $ \mathbb{Z} = \{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots\} $.

Quindi l'hai fatto per induzione. Ma non c'è un modo migliore, con dimostrazione diretta?

La mia è leggermente diversa....

$ F(a,a+0)=F(0,a)+F(a,a) $ allora $ F(0,a)=0 $
$ F(a,b+0)=F(b,a)+F(0,a)=F(b,a) $ dunque è commutativa.

Allora $ F(x,y)=F(1,x)+F(y-1,x)=F(1,x)+F(x,y-1) $.
$ F(1,x) $ vale ovviamente $ xF(1,1) $, perchè posso portare fuori allo stesso modo x volte l'addendo $ F(1,1) $. E ragionando allo stesso modo per la $ y $, risulta subito $ xyF(1,1) $.

Ciao!

x=1+1+1+1........
Bella idea!!!

Mmmh...so che è vecchio come post e non sono necrofilo xDD volevo solo proporre la mia idea e sapere cosa ne pensate!
ho provato a dimostrare che il rombo era una moltiplicazione.

infatti :
1. x=0

0*(y+z)=0*y+0*z)= 0

quindi non è la somma o la sottrazione.
ora c'è da scegliere tra divisione e moltiplicazione.

2. y=0
x*(0+z) = x*0+x*z = x*z

confermata una moltiplicazione.

perciò : x*y = xy(1*1).

non è che esistono solo quelle come operazioni, lì può essere un'operazione qualunque che soddisfa quelle regole

si capisco.. tipo integrale o derivata etc....erò penso la più plausibile sia la moltiplicazione non credi?

non intendo questo, intendo che uno può definire operazioni a piacere, non è che ne esiste una lista confezionata da cui scegliere, quindi non puoi andare per esclusione nella dimostrazione e l'obiettivo del problema non è capire chi sia quell'operazione, ma dimostrare la tesi

si è questo il mio problema che cercavo di aggirare(:P) non capisco bene mai come partire per una tesi matematica e soprattutto come fate ad elaborare le giuste ipotesi....