Ancora disuguaglianze da esercitazione

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Rispondi
Avatar utente
Ani-sama
Messaggi: 418
Iscritto il: 19 feb 2006, 21:38
Località: Antwerpen (BE)
Contatta:

Ancora disuguaglianze da esercitazione

Messaggio da Ani-sama » 05 giu 2006, 14:44

Di seguito, un paio di disuguaglianze facili facili buone per esercitarsi...


1) Siano $ $a,b,c,d$ $ reali positivi. Dimostrare che:

$ $a^3cd + b^3da+c^3ab+d^3bc \geq (a+b+c+d)abcd$ $


2) Siano $ $x_1, x_2, x_3, x_4$ $ numeri reali positivi. Dimostrare che:

$ $\frac{x_1^2}{x_1+x_2} + \frac{x_2^2}{x_2+x_3} + \frac{x_3^2}{x_3+x_4} + \frac{x_4^2}{x_4+x_1} \geq \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{2}$ $

Questa se volete la potete generalizzare per $ $x_1, x_2, x_3 \cdots x_n$ $... non è difficile. :)


Buon divertimento!
...

Avatar utente
Boll
Messaggi: 1076
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Piacenza

Re: Ancora disuguaglianze da esercitazione

Messaggio da Boll » 05 giu 2006, 15:09

Non credo fosse questa l'applicazione banale a cui si pensava, comunque è una cosa utile, quindi la posto.
Ani-sama ha scritto: 1) Siano $ $a,b,c,d$ $ reali positivi. Dimostrare che:

$ $a^3cd + b^3da+c^3ab+d^3bc \geq (a+b+c+d)abcd$ $
La funzione $ $f(x)=\frac{1}{x} $ è convessa in $ R^{+} $

Quindi per Jensen

$ $ \sum \frac{a*f\left(\frac{b}{a}\right)}{a+b+c+d}\ge f\left(\sum \frac{b}{a+b+c+d}\right) $
$ $ \sum \frac{a^2}{b(a+b+c+d)}\ge 1 $

Moltiplicando per $ abcd(a+b+c+d) $

$ $ \sum a^3cd\ge abcd(a+b+c+d) $

q.e.d.
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

Avatar utente
edriv
Messaggi: 1638
Iscritto il: 16 feb 2006, 19:47
Località: Gradisca d'Isonzo
Contatta:

Messaggio da edriv » 05 giu 2006, 15:21

Grazie per il divertimento!

Prima disuguaglianza: (molto simile a quella postata da melkor) divido per abcd e cauchy-schwarz su a/sqrt(b), ... e sqrt(b),...
Seconda: da CS su a/sqrt(a+b),... e sqrt(a+b) ottengo (a+b+c+d)^2 <= LHS * 2(a+b+c+d) da cui la tesi. Naturalmente vale per qualsiasi n-upla.

snagg
Messaggi: 70
Iscritto il: 14 mar 2005, 19:38
Contatta:

Messaggio da snagg » 05 giu 2006, 17:17

EDIT: non è simmetrica, grazie pic
Ultima modifica di snagg il 05 giu 2006, 17:28, modificato 1 volta in totale.

pic88
Messaggi: 741
Iscritto il: 16 apr 2006, 11:34
Località: La terra, il cui produr di rose, le dié piacevol nome in greche voci...

Messaggio da pic88 » 05 giu 2006, 17:24

snagg ha scritto:Possiamo assumere $ a^2\geq b^2 \geq c^2 \geq d^2 $
la disuguaglianza non è simmetrica per cui non si può fare così. Puoi al massimo fare una permutazione fino a rendere a maggiore o uguale a tutti gli altri.

snagg
Messaggi: 70
Iscritto il: 14 mar 2005, 19:38
Contatta:

Messaggio da snagg » 05 giu 2006, 17:27

uhm scusa mi manca la definizione di simmetrica. Me la puoi dire?

pic88
Messaggi: 741
Iscritto il: 16 apr 2006, 11:34
Località: La terra, il cui produr di rose, le dié piacevol nome in greche voci...

Messaggio da pic88 » 05 giu 2006, 17:33

un'espressione in più variabili è simmetrica se
scambiando tra loro due variabili qualsiasi l'espressione resta la stessa.

Avatar utente
pi_greco_quadro
Messaggi: 158
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Verona

Messaggio da pi_greco_quadro » 05 giu 2006, 23:04

pic88 ha scritto:
snagg ha scritto:Possiamo assumere $ a^2\geq b^2 \geq c^2 \geq d^2 $
la disuguaglianza non è simmetrica per cui non si può fare così. Puoi al massimo fare una permutazione fino a rendere a maggiore o uguale a tutti gli altri.
Quello che dici è vero pic però dal momento che $ a,b,c,d\in\mathbb R^+ $ puoi assumere tranquillamente $ a\geq b\geq c \geq d $

Avatar utente
pi_greco_quadro
Messaggi: 158
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Verona

Messaggio da pi_greco_quadro » 06 giu 2006, 16:18

ok... visto che nessuno posta la seconda disequazione lo faccio io...
Prendiamo il caso generale in cui abbiamo $ x_1,x_2,\cdots,x_n\in\mathbb R^+ $
ora, è facile verificare che
$ \frac{x_1^2}{x_1+x_2}+\cdots+\frac{x_n^2}{x_n+x_1}=(x_1-x_2)+\frac{x_2^2}{x_1+x_2}+\cdots+(x_n-x_1)+\frac{x_1^2}{x_n+x_1} $$ =\frac{x_2^2}{x_1+x_2}+\cdots+\frac{x_1^2}{x_n+x_1} $
Perciò sarà sufficiente dimostrare che
$ 2\cdot\left(\frac{x_1^2}{x_1+x_2}+\cdots+\frac{x_n^2}{x_n+x_1}\right)=\left(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1+x_2}+\cdots+\frac{x_n^2+x_1^2}{x_n+x_1}\right) $$ \geq x_1+\cdots+x_n $
Per $ QM^2\geq AM^2 $ abbiamo $ x_1^2+x_2^2\geq \frac{(x_1+x_2)^2}{2} $
Ovvero
$ \left(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1+x_2}+\cdots+\frac{x_n^2+x_1^2}{x_n+x_1}\right)\geq $$ \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n+x_1}{2}=x_1+\cdots+x_n $
$ Q.E.D. $

pic88
Messaggi: 741
Iscritto il: 16 apr 2006, 11:34
Località: La terra, il cui produr di rose, le dié piacevol nome in greche voci...

Messaggio da pic88 » 06 giu 2006, 17:11

pi_greco_quadro ha scritto:ok... visto che nessuno posta la seconda disequazione lo faccio io...
la seconda disequazione era già stata postata nel terzo intervento. a parte questo non riesco a convincermi della validità di porre a>=b>=c>=d

Avatar utente
pi_greco_quadro
Messaggi: 158
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Verona

Messaggio da pi_greco_quadro » 06 giu 2006, 22:37

pic88 ha scritto:
pi_greco_quadro ha scritto:ok... visto che nessuno posta la seconda disequazione lo faccio io...
la seconda disequazione era già stata postata nel terzo intervento. a parte questo non riesco a convincermi della validità di porre a>=b>=c>=d
Allora mettiamola così... prendi un qualsiasi ordinamento di $ a,b,c,d $ dividi ambo i membri per $ abcd $ ed ottieni $ \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{d}+\frac{d^2}{a}\geq a+b+c+d $ che, indipendentemente dall'ordinamento scelto è un'applicazione della disuguaglianza di riarrangiamento, ed è quindi vera.... spero di essere stato chiaro.. p.s. nn l'ho proprio vista la seconda disequazione.. mi scuso...
In alternativa moltiplichi ambo i membri sopra per (a+b+c+d) ed ottieni
$ (a+b+c+d)(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{d}+\frac{d^2}{a})\geq (a+b+c+d)^2 $ che è vera per Cauchy senza appello questa volta :D

Avatar utente
edriv
Messaggi: 1638
Iscritto il: 16 feb 2006, 19:47
Località: Gradisca d'Isonzo
Contatta:

Messaggio da edriv » 06 giu 2006, 22:54

Non sono d'accordo su quel riarrangiamento... tu sei "costretto" a usare Cauchy appunto perchè è ciclica e non simmetrica!

Prova ad esplicitare le n-uple ordinate che usi...

Avatar utente
thematrix
Messaggi: 465
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Quartu S.E. (CA)

Messaggio da thematrix » 07 giu 2006, 09:07

Credo di aver capito:
in qualsiasi modo siano ordinati $ a,b,c,d $,il modo "peggiore" di accoppiare $ a^2 , b^2 , c^2 , d^2 $ e $ \frac{1}{a} , \frac{1}{b} , \frac{1}{c} , \frac{1}{d} $ è,per forza di cose, $ a^2 $ con $ \frac{1}{a} $ , $ b^2 $ con $ \frac{1}{b} $ ... quindi,anche senza porre $ a \geq b \geq c \geq d $,i quattro termini avranno un ordinamento,per cui la somma è sempre minima in quel caso.
Sunshine or rain, it's all the same, life isn't gray
oh Mary-Lou.

(Mary-Lou --- Sonata Arctica)

Avatar utente
pi_greco_quadro
Messaggi: 158
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Verona

Messaggio da pi_greco_quadro » 07 giu 2006, 15:35

quello che dice thematrix è corretto ed è esattamente quello che intendevo io.... dal momento che $ a,b,c,d\in\mathbb R^+ $, allora, dato un qualsiasi ordinamento (pongo ad ESEMPIO $ b^2\geq d^2\geq a^2 \geq c^2 $ ma qualsiasi altro ordinamento porta alla stessa conclusione) da cui ricavo, proprio perché tutti reali positivi (se così non fosse dovrei stare più attento :shock: ) $ \frac{1}{c}\geq\frac{1}{a}\geq\frac{1}{d}\geq\frac{1}{b} $.
Ora, la disuguaglianza di riarrangiamento mi dice che date due n-uple il modo peggiore di accoppiarle è moltiplicare il più grande $ a_i $ con il più piccolo $ b_i $ e così via, che guarda caso porta proprio a $ a+b+c+d $....
Ci tengo a spiegarlo perché con Cauchy è già meno banale la risoluzione però sembra più sicura ed affidabile (io l'ho risolta con Cauchy infatti), però regge anche il riarrangiamento, anche se me ne sono convinto dopo un bel pò che ci ho riflettuto su e ho chiesto pareri in giro.... questo è tutto... alla prox...

Rispondi