Ye olde american inequality

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Ani-sama
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Ye olde american inequality

Messaggio da Ani-sama » 03 giu 2006, 12:15

Fonte: USAMO 1974/1 (o meglio, la dispensa del Kedlaya... :roll: ). È molto facile... ce l'ho (quasi) fatta anch'io (mi ero piantato su un'idiozia)...

Dimostrare che:

$ $a^a b^b c^c \geq {(abc)}^{\frac{a+b+c}{3}}$ $, $ $a,b,c \in \mathbb{R}^{+}$ $

Ciao!
Ultima modifica di Ani-sama il 03 giu 2006, 13:02, modificato 3 volte in totale.
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pic88
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Messaggio da pic88 » 03 giu 2006, 12:42

WLOG: $ \[ a \geqslant b \geqslant c \] $ da cui $ \[ a + b \geqslant a + c \geqslant b + c \] $

ora, se $ \[ b \geqslant AM \] $ si ha $ \[ LHS \geqslant (abc)^b \geqslant (abc)^{AM} \] $altrimenti
$ \[ 3b \leqslant a + b + c,\text{ }2b \leqslant a + c \] $

partendo da $ LHS \geqslant (abc)^b $ moltiplico per RHS

$ \[ a^{a + b} c^{c + b} \geqslant (ac)^{2b} \] $, ed è vera perchè
$ \[ a^{a + b} c^{c + b} \geqslant (ac)^{a + c} \geqslant (ac)^{2b} \] $

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Ani-sama
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Messaggio da Ani-sama » 03 giu 2006, 13:00

EDIT importante.. avevo dimenticato l'insieme di appartenenza delle variabili... scusate :oops:
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edriv
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Messaggio da edriv » 03 giu 2006, 14:28

Logaritmo + Chebyshev (ed ecco la mia prima disuguaglianza con chebyshev)

Prendo il logaritmo da ambo le parti:
$ a\log a + b \log b + c \log c \ge (\frac{a+b+c}3) (\log a + \log b + \log c) $

Wlog, suppongo $ a \ge b \ge c $. In tal caso anche $ \log a \ge \log b \ge \log c $. Considerando queste 3-uple (dette anche triple), e applicando Chebyshev si ottiene:
$ a\log a + b \log b + c \log c \ge (\frac{a+b+c}3) (\log a + \log b + \log c) $

che è la tesi.

HomoPatavinus
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Messaggio da HomoPatavinus » 03 giu 2006, 14:59

risolvendo questo esercizio mi è venuto un dubbio (che in realtà avevo da tempo): la disuguaglianza di jensen per le funzioni convesse può valere al contrario per le funzioni concave? ossia se F(x) è una funzione concava è vero che
F(A(x1,x2,...xn))>A(F(x1),F(x2)..F(Xn)) ?
In caso di risposta affermativa propongo la mia soluzione:
la tesi si può riscrivere come:
$ \displaystyle a\log a + b\log b + c\log c \ge \frac{a+b+c}3(\log a + \log b + \log c) $
ora questo credo si possa dimostrare anche in altro modo, probabilmente per lo stesso criterio per cui se x>y>z allora x^2 + y^2 + z^2 > xy + xz +yz . Però non sono colto in materia allora preferisco usare teoremi che forse non esistono :D .
Per jensen al contrario avremo che considerata la funzione F(x) = xlogx si ha :
$ \displaystyle a\log a + b\log b + c\log c \ge 3\frac{a+b+c}3\log\frac{a+b+c}3 $
Per il secondo membro di questa uguaglianza varrà:
$ \displaystyle 3\log\frac{a+b+c}3 \ge (\log a + \log b + \log c) $
(ho applicato le proprietà dei logaritmi e AM>GM)
quindi la tesi sarebbe dimostrata ( eh sì sarebbe bello :D )

pic88
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Messaggio da pic88 » 03 giu 2006, 15:02

HomoPatavinus ha scritto:risolvendo questo esercizio mi è venuto un dubbio (che in realtà avevo da tempo): la disuguaglianza di jensen per le funzioni convesse può valere al contrario per le funzioni concave?
A quanto ne so la definizione convessa-concava è data proprio da quella proprietà... poi si dimostra che coincide col fatto di avere derivata seconda positiva o negativa... quindi la risposta è si.

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Ani-sama
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Messaggio da Ani-sama » 03 giu 2006, 15:07

HomoPatavinus ha scritto:quindi la tesi sarebbe dimostrata ( eh sì sarebbe bello :D )
Sì, il tuo sistema è anche quello che ho usato io. :D
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edriv
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Messaggio da edriv » 03 giu 2006, 15:28

Comunque per la Jensen concava basta considerare il fatto che:
Se $ f(x) $ è concava, $ -f(x) $ è convessa.
Da questo è immediato passare da una jensen all'altra.

HomoPatavinus
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Messaggio da HomoPatavinus » 03 giu 2006, 17:38

ma allora perkè il termine "funzione concava" non l'ho mai sentito? si sente sempre e solo funzione convessa credevo di aver creato un neologismo. Cmq per quanto riguarda la definizione è cosi:
F(x) si dice convessa in un intervallo I quando presi due punti a piacere A e B appartenenti a I e considerati 2 coefficenti entrambi > 0 k1 e k2 tali che k1+k2=1 si avrà: F(k1A+k2B)>k1F(A)+k2F(B). Questo in termini geometrici corrisponde a dire che facendo passare un segmento da i punti con coordinate A e B della curva avremo che i punti appartenenti a questa retta saranno sempre di ascissa maggiore a quelli aventi uguale ordinata della curva. Poi con jensen si generalizza questa caratteristica (di solito si fa con induzione) per n punti appartenenti a I e n coefficenti positivi tali che la loro somma è 1.

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