Salve a tutti.... sono ancora poco pratico di questo forum quindi se qualcosa nella formula uscirà poco chiaro... boh riproverò a scriverla.... ... cmq... ecco il quesito che volevo proporre....
Siano $ a,b,c $ lati di un triangolo. Si provi che
$ a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq0 $. Auguri!!!
Ancora a,b,c lati di un triangolo....
- pi_greco_quadro
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a,b,c sono lati di un triangolo.
- lemma:
esistono x,y,z positivi tali che
$ x+y=a $
$ y+z=b $
$ x+z=c $
(infatti basta porre a+b = c + 2y > c e così via)
in termini di x e y l'espressione, dopo lunghi calcoli, diventa:
$ 2(xy^{3}+yz^{3}+zx^{3} - (xy^{2}z+xyz^{2}+yzx^{2})) $
spero che ciò possa semplificare la soluzione.
- lemma:
esistono x,y,z positivi tali che
$ x+y=a $
$ y+z=b $
$ x+z=c $
(infatti basta porre a+b = c + 2y > c e così via)
in termini di x e y l'espressione, dopo lunghi calcoli, diventa:
$ 2(xy^{3}+yz^{3}+zx^{3} - (xy^{2}z+xyz^{2}+yzx^{2})) $
spero che ciò possa semplificare la soluzione.
Non immediatamente: il bunching si applica solo alle "somme simmetriche", cioè quelle che rimangono invariate se si scambiano tra loro due qualunque delle variabili. In questo caso, c'è il termine $ zx^3 $ ma non, per esempio, $ yx^3 $ (che si ottiene scambiando z e y): i tre termini di quel tipo formano quella che viene chiamata una "somma ciclica" (cioè che rimane invariata se si scambiano "ciclicamente" le variabili: cioè x->y, y->z, z->x.edriv ha scritto:Bunching?
Ho solo letto il teorema, qualcuno mi spiega come si può applicare in questo caso?
Suggerimento: (a occhio direi che funziona ma sono troppo pigro per fare i conti) Però invece di applicare il "cannone" potete provare a cercare di capire l'idea della sua dimostrazione e costruirne una simile in questo caso: prendete "un po'" di termini del tipo xy^3, yz^3, zx^3 e cercate di applicarci una AM-GM in modo da arrivare ad avere dal lato a destra il termine xy^2z...
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
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- pi_greco_quadro
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Direi che Leandro ha centrato in pieno la questione... boh per chi non credesse che effettivamente per Cauchy la conclusione di Leandro sia vera provi con
$ a_1=\sqrt x\\a_2=\sqrt y\\a_3=\sqrt z\\b_1=\frac{z}{\sqrt x}\\b_1=\frac{x}{\sqrt y}\\b_3=\frac{y}{\sqrt z} $
E così chiudo la dimostrazione...
Saluti.... -Francesco-
$ a_1=\sqrt x\\a_2=\sqrt y\\a_3=\sqrt z\\b_1=\frac{z}{\sqrt x}\\b_1=\frac{x}{\sqrt y}\\b_3=\frac{y}{\sqrt z} $
E così chiudo la dimostrazione...
Saluti.... -Francesco-