Polinomio..
Polinomio..
Sia p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e un polinomio con coefficienti a,b,c,d,e numeri razionali. Si supponga che, per ogni intero m maggiore di un certo m0 (m con 0), il numero p(m) sia intero. Si dimostri che allora 24a e' un numero intero. Si generalizzi poi questo risultato a polinomi p(x), con coefficienti razionali, di grado n..
Faccio il caso generale, dimostrazione non proprio formalissima, non so se prenderebbe 7 punti a Cesenatico, ma le idee dovrebbero esserci tutte
Problema
Sia $ $ \sum_{i=0}^n a_ix^i $ un polinomio con tutti gli $ a_i $ razionali. Si mostri che, se dopo un certo $ m_0 $ per ogni $ m>m_0 $ vale $ P(m)\in \mathbb{Z} $, allora $ a_n*n! $ è intero.
Dimostrazione
Lemma 1 Se prendiamo un polinomio $ $ f(x)= \sum_{i=0}^n a_ix^i $ di grado $ n $, il polinomio $ g(x)=f(x+1)-f(x) $ sarà di grado $ n-1 $e il coefficente di grado $ n-1 $ sarà $ a_n*n $
Dimostrazione del L1 Il monomio di grado $ n $, viene cancellato e, ricordando la formula del binomio di Newton, in $ (x+1)^n $ non ne appaiono altri, tantomeno in $ (x+1)^i $ con i minore di n. Per il secondo punto ovviamente le osservazioni valgono anche per il polinomio $ f(x)-a_n*x^n $ quindi l'unico monomio di grado $ n-1 $ che rimarrà sarà generato da $ (x+1)^n $ quindi sarà $ $ \binom{n}{1}*a_n=n*a_n $
Chiamiamo $ P_n(x)=P(x) $ e
$ P_{i-1}(x)= P_i(x+1)-P_i(x) $ per ogni $ i\le n $
per quanto detto prima $ P_i $ ha grado $ i $ e tutti i $ P_i(m) $ con $ m> m_0 $ avranno valori interi (dimostrazione banale per induzione, per $ P_n $ funziona e se funziona per $ P_i $ funzionerà anche per $ P_{i-1} $ poichè la differenza di interi è un intero)
Quindi $ P_1(m) $ è intero, ha grado $ 1 $ ed è ottenuto col procedimento sopraindicato. Quindi il coefficente del suo monomio di grado $ 1 $ sarà $ (((a_n*n)*(n-1))*(n-2))*...=a_n*n! $
$ P_1(m)=a_n*n!*m+\mbox{qualcosa} $ che è intero, ma anche
$ P_1(m+1)=a_n*n!*m+a_n*n!+\mbox{qualcosa} $ è intero quindi per sottrazione
$ a_n*n! $ è intero, cioè la tesi
Problema
Sia $ $ \sum_{i=0}^n a_ix^i $ un polinomio con tutti gli $ a_i $ razionali. Si mostri che, se dopo un certo $ m_0 $ per ogni $ m>m_0 $ vale $ P(m)\in \mathbb{Z} $, allora $ a_n*n! $ è intero.
Dimostrazione
Lemma 1 Se prendiamo un polinomio $ $ f(x)= \sum_{i=0}^n a_ix^i $ di grado $ n $, il polinomio $ g(x)=f(x+1)-f(x) $ sarà di grado $ n-1 $e il coefficente di grado $ n-1 $ sarà $ a_n*n $
Dimostrazione del L1 Il monomio di grado $ n $, viene cancellato e, ricordando la formula del binomio di Newton, in $ (x+1)^n $ non ne appaiono altri, tantomeno in $ (x+1)^i $ con i minore di n. Per il secondo punto ovviamente le osservazioni valgono anche per il polinomio $ f(x)-a_n*x^n $ quindi l'unico monomio di grado $ n-1 $ che rimarrà sarà generato da $ (x+1)^n $ quindi sarà $ $ \binom{n}{1}*a_n=n*a_n $
Chiamiamo $ P_n(x)=P(x) $ e
$ P_{i-1}(x)= P_i(x+1)-P_i(x) $ per ogni $ i\le n $
per quanto detto prima $ P_i $ ha grado $ i $ e tutti i $ P_i(m) $ con $ m> m_0 $ avranno valori interi (dimostrazione banale per induzione, per $ P_n $ funziona e se funziona per $ P_i $ funzionerà anche per $ P_{i-1} $ poichè la differenza di interi è un intero)
Quindi $ P_1(m) $ è intero, ha grado $ 1 $ ed è ottenuto col procedimento sopraindicato. Quindi il coefficente del suo monomio di grado $ 1 $ sarà $ (((a_n*n)*(n-1))*(n-2))*...=a_n*n! $
$ P_1(m)=a_n*n!*m+\mbox{qualcosa} $ che è intero, ma anche
$ P_1(m+1)=a_n*n!*m+a_n*n!+\mbox{qualcosa} $ è intero quindi per sottrazione
$ a_n*n! $ è intero, cioè la tesi
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)