TEST d'AMMISSIONE ANNI 90...
TEST d'AMMISSIONE ANNI 90...
Trovare il più piccolo numero a>1 tale che
$ \displaystyle \frac{a + sin x}{a + sin y}\leq\ e^t $
con t = y-x e $ \displaystyle \ x\leq\ y $
$ \displaystyle \frac{a + sin x}{a + sin y}\leq\ e^t $
con t = y-x e $ \displaystyle \ x\leq\ y $
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Ci provo io...
$ a > 1 \Rightarrow a + seny > 0 $.Quindi possiamo riscrivere la disuguaglianza come:
$ e^x \left( {a + senx} \right) \le e^y \left( {a + seny} \right) $
$ \displaystyle a \ge \frac{{e^y seny - e^x senx}}{{e^x - e^y }} $
Ora considera la funzione $ f\left( x \right) = xsen\ln x $.
$ \displaystyle f'\left( x \right) = sen\ln x + \cos \ln x = \sqrt 2 sen\left( {\ln x + \frac{\pi }{4}} \right) $.
La funzione f è continua e derivabile nell'intervallo $ \left[ {e^x ,e^y } \right] $ quindi per il teorema di Lagrange esiste un $ t \in \left] {x,y} \right[ $ tale che:
$ \displaystyle \frac{{e^y seny - e^x senx}}{{e^y - e^x }} = \sqrt 2 sen\left( {t + \frac{\pi }{4}} \right) $
Da quest'ultima si ricava che per qualunque valore di t:
$ \displaystyle - \sqrt 2 \le \frac{{e^y seny - e^x senx}}{{e^y - e^x }} \le \sqrt 2 $
da cui $ a=\sqrt 2 $
$ a > 1 \Rightarrow a + seny > 0 $.Quindi possiamo riscrivere la disuguaglianza come:
$ e^x \left( {a + senx} \right) \le e^y \left( {a + seny} \right) $
$ \displaystyle a \ge \frac{{e^y seny - e^x senx}}{{e^x - e^y }} $
Ora considera la funzione $ f\left( x \right) = xsen\ln x $.
$ \displaystyle f'\left( x \right) = sen\ln x + \cos \ln x = \sqrt 2 sen\left( {\ln x + \frac{\pi }{4}} \right) $.
La funzione f è continua e derivabile nell'intervallo $ \left[ {e^x ,e^y } \right] $ quindi per il teorema di Lagrange esiste un $ t \in \left] {x,y} \right[ $ tale che:
$ \displaystyle \frac{{e^y seny - e^x senx}}{{e^y - e^x }} = \sqrt 2 sen\left( {t + \frac{\pi }{4}} \right) $
Da quest'ultima si ricava che per qualunque valore di t:
$ \displaystyle - \sqrt 2 \le \frac{{e^y seny - e^x senx}}{{e^y - e^x }} \le \sqrt 2 $
da cui $ a=\sqrt 2 $
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Re: TEST d'AMMISSIONE ANNI 90...
Da dove ha tirato fuori quella f(x)??
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Re: TEST d'AMMISSIONE ANNI 90...
poni x1 =e^x e y1= e^y e riscrivi nelle nuove variabili
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Re: TEST d'AMMISSIONE ANNI 90...
x1 e y1??trugruo ha scritto:poni x1 =e^x e y1= e^y e riscrivi nelle nuove variabili
cioè?? $ e^e^x)a+sin(e^x)\lee^e^y(a+cos(e^y)) $
scusate la mia ignoranza...
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Re: TEST d'AMMISSIONE ANNI 90...
Ragazzi, questa è necrofilia... ma vi rendete conto che questo thread è fermo dal maggio 2006?? Abbiate decenza, lasciate i morti a riposare in pace...
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Re: TEST d'AMMISSIONE ANNI 90...
ahahhaha no era perché volevo solo sapere...EvaristeG ha scritto:Ragazzi, questa è necrofilia... ma vi rendete conto che questo thread è fermo dal maggio 2006?? Abbiate decenza, lasciate i morti a riposare in pace...
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