quanto fa $ \displaystyle \sum_{\emptyset \neq A \subset \{1, \dots, n\}} \min A + \max A $?
Corretto il LaTeX. MindFlyer
somma quasi-combinatoria
Re: somma quasi-combinatoria
ma_go ha scritto:quanto fa $ \displaystyle \sum_{\emptyset \neq A \in \{1, \dots, n\}} \min A + \max A $?
Forse è un'osservazione stupida, ma se $ A $ è un insieme dovresti scrivere $ A\subset \{1,\dots,n\} $ e non $ A\in \{1,\dots,n\} $ altrimenti $ A $ è un elemento e la cosa diventerebbe banale...
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MindFlyer
Re: somma quasi-combinatoria
Per essere precisi diventerebbe (rimarrebbe...) insensata, perché il minimo e il massimo sono definiti su insiemi e non su numeri. Comunque l'obiezione mi sembra fondata e correggo il LaTeX del messaggio di ma_go.Vasya ha scritto:[...] altrimenti $ A $ è un elemento e la cosa diventerebbe banale...
... avevo controllato il LaTeX..-
enomis_costa88
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Step 1: $ i $ è l'elemento minimo di $ 2^{n-i} $ insiemi.
Infatti $ i $è elemento minimo di qualsiasi insieme contenente $ i $ e i cui rimanenti elementi siano scelti tra gli elementi maggiori di $ i $ che sono $ n-i $, gli insiemi con questa proprietà sono $ 2^{n-i} $.
Step 2: $ i $è l'elemento massimo di $ 2^{i-1} $ insiemi.
Infatti $ i $ è elemento massimo di qualsiasi insieme contenente $ i $ e i cui rimanenti elementi siano scelti tra gli elementi minori di $ i $ che sono $ i-1 $, gli insiemi con questa proprietà sono $ 2^{i-1} $.
Noto inoltre che non devo contare il massimo e il minimo dell'insieme $ \{1, \dots, n\} $ poichè A ne deve esserne strettamente un sottinsieme.
sia $ k=n-i+1 $
$ \sum_{\emptyset \neq A \subset \{1, \dots, n\}} min A $ $ = -1+\sum_{i=1}^{n}2^{n-i}i= $ $ -1+ \sum_{k=1}^{n}2^{k-1}(n-k+1) $
$ \sum_{\emptyset \neq A \subset \{1, \dots, n\}} maxA =-n+ \sum_{i=1}^{n}2^{i-1}i $
$ \sum_{\emptyset \neq A \subset \{1, \dots, n\}} minA+maxA $ $ = \sum_{k=1}^{n}2^{k-1}(n-k+1)+ \sum_{i=1}^{n}2^{i-1}i -(n+1) $
$ = \sum_{k=1}^{n}2^{k-1}(n+1)-(n+1) = (n+1)(2^n-2) $
Infatti $ i $è elemento minimo di qualsiasi insieme contenente $ i $ e i cui rimanenti elementi siano scelti tra gli elementi maggiori di $ i $ che sono $ n-i $, gli insiemi con questa proprietà sono $ 2^{n-i} $.
Step 2: $ i $è l'elemento massimo di $ 2^{i-1} $ insiemi.
Infatti $ i $ è elemento massimo di qualsiasi insieme contenente $ i $ e i cui rimanenti elementi siano scelti tra gli elementi minori di $ i $ che sono $ i-1 $, gli insiemi con questa proprietà sono $ 2^{i-1} $.
Noto inoltre che non devo contare il massimo e il minimo dell'insieme $ \{1, \dots, n\} $ poichè A ne deve esserne strettamente un sottinsieme.
sia $ k=n-i+1 $
$ \sum_{\emptyset \neq A \subset \{1, \dots, n\}} min A $ $ = -1+\sum_{i=1}^{n}2^{n-i}i= $ $ -1+ \sum_{k=1}^{n}2^{k-1}(n-k+1) $
$ \sum_{\emptyset \neq A \subset \{1, \dots, n\}} maxA =-n+ \sum_{i=1}^{n}2^{i-1}i $
$ \sum_{\emptyset \neq A \subset \{1, \dots, n\}} minA+maxA $ $ = \sum_{k=1}^{n}2^{k-1}(n-k+1)+ \sum_{i=1}^{n}2^{i-1}i -(n+1) $
$ = \sum_{k=1}^{n}2^{k-1}(n+1)-(n+1) = (n+1)(2^n-2) $
"Tu che lo vendi cosa ti compri di migliore?"
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