somma quasi-combinatoria

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ma_go
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somma quasi-combinatoria

Messaggio da ma_go » 02 dic 2005, 10:53

quanto fa $ \displaystyle \sum_{\emptyset \neq A \subset \{1, \dots, n\}} \min A + \max A $?

Corretto il LaTeX. MindFlyer

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Messaggio da MindFlyer » 02 dic 2005, 11:44

Dunque, ci risiamo...
Spenderesti 2 parole per chiarire cosa significa "quanto fa"?

Vasya
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Re: somma quasi-combinatoria

Messaggio da Vasya » 02 dic 2005, 13:11

ma_go ha scritto:quanto fa $ \displaystyle \sum_{\emptyset \neq A \in \{1, \dots, n\}} \min A + \max A $?

Forse è un'osservazione stupida, ma se $ A $ è un insieme dovresti scrivere $ A\subset \{1,\dots,n\} $ e non $ A\in \{1,\dots,n\} $ altrimenti $ A $ è un elemento e la cosa diventerebbe banale...

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Re: somma quasi-combinatoria

Messaggio da MindFlyer » 02 dic 2005, 14:11

Vasya ha scritto:[...] altrimenti $ A $ è un elemento e la cosa diventerebbe banale...
Per essere precisi diventerebbe (rimarrebbe...) insensata, perché il minimo e il massimo sono definiti su insiemi e non su numeri. Comunque l'obiezione mi sembra fondata e correggo il LaTeX del messaggio di ma_go.

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Messaggio da ma_go » 02 dic 2005, 14:18

sìsì, vasya... intendevo contenuto, non appartiene :) ... avevo controllato il LaTeX..
per quanto concerne l'altro intervento, non ho nulla da commentare.

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enomis_costa88
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Messaggio da enomis_costa88 » 21 lug 2006, 15:24

Step 1: $ i $ è l'elemento minimo di $ 2^{n-i} $ insiemi.
Infatti $ i $è elemento minimo di qualsiasi insieme contenente $ i $ e i cui rimanenti elementi siano scelti tra gli elementi maggiori di $ i $ che sono $ n-i $, gli insiemi con questa proprietà sono $ 2^{n-i} $.

Step 2: $ i $è l'elemento massimo di $ 2^{i-1} $ insiemi.
Infatti $ i $ è elemento massimo di qualsiasi insieme contenente $ i $ e i cui rimanenti elementi siano scelti tra gli elementi minori di $ i $ che sono $ i-1 $, gli insiemi con questa proprietà sono $ 2^{i-1} $.

Noto inoltre che non devo contare il massimo e il minimo dell'insieme $ \{1, \dots, n\} $ poichè A ne deve esserne strettamente un sottinsieme.

sia $ k=n-i+1 $
$ \sum_{\emptyset \neq A \subset \{1, \dots, n\}} min A $ $ = -1+\sum_{i=1}^{n}2^{n-i}i= $ $ -1+ \sum_{k=1}^{n}2^{k-1}(n-k+1) $
$ \sum_{\emptyset \neq A \subset \{1, \dots, n\}} maxA =-n+ \sum_{i=1}^{n}2^{i-1}i $

$ \sum_{\emptyset \neq A \subset \{1, \dots, n\}} minA+maxA $ $ = \sum_{k=1}^{n}2^{k-1}(n-k+1)+ \sum_{i=1}^{n}2^{i-1}i -(n+1) $
$ = \sum_{k=1}^{n}2^{k-1}(n+1)-(n+1) = (n+1)(2^n-2) $
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Membro dell'EATO.

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