Limite

[hisashi]

Come si dimsotra (senza derivate o integrali) che il limite di :
lnx / x con x-->infinito è 0???

[moebius]

Non si dimostra... fa 0...

[hisashi]

si scusa, ho scritto di fretta, intendevo dire 0 non 1... perdonatemi lo strafalcione.

Corrego sopra.

[Giggles]

beh, è equivalente al fatto che t cresce più lentamente di $ e^t $. Parto dalla disuguaglianza di Bernoulli quella con il secondo grado, che è $ (1+a)^n >= 1 + na + a^2 n(n-1)/2 $, per n intero. allora, con t intero (non cambia niente) $ e^t >= 1 + t(e-1) + (e-1)^2 t(t-1)/2 $. Allora $ e^t / t >= 1/t + (e-1) + (e-1)^2 (t-1)/2 $.
il secondo membro tende a infinito all'aumentare di t, quindi anche il primo. prendendo poi t = ln x ho la tesi.

[hisashi]

Grazi!

[Giggles]

di niente

[thematrix]

scusa,ma...
$ \frac{ln x}{x} = \frac {1}{x} ln x = ln x^{\frac{1}{x}} $.Poichè $ x^{\frac{1}{x}} $ tende a uno(dimostrabile col fatto che $ 2^x $ cresce molto più velocemente di $ x $,che quindi,considerando la sua "distanza" tra 1 e 2,si avvicinerà sempre più a 1)il suddetto limite tende a zero.

[mistergiovax]

scusate se mi intrometto, ma non si potrebbe dire che siccome, per x->infinito

log(x)<x (per questo basta x>1)

e quindi log(x)/x=0

non so se si è capito(come l'ho detto io)
P.S. scusate la mia ignoranza

[ReKaio]

scusate se mi intrometto, ma non si potrebbe dire che siccome, per x->infinito

log(x)<x (per questo basta x>1)

e quindi log(x)/x=0

non so se si è capito(come l'ho detto io)
P.S. scusate la mia ignoranza

non basta, x<2x (per x>0)

e quindi al limite, x/2x=0 no, no, visto che è circa costantemente 1/2

[mistergiovax]

io non so cosa hai capito, ma non ho capito cosa hai risposto è normale?

io volevo solo dire che x cresce di più di log(x) e che quindi

lim log(x)/x=0
x->infinito

[Giggles]

x cresce "più velocemente" di ln x, intendi

[mistergiovax]

certo che intendo questo, ma ora mi scollego perché ho l'adsl ad ore e non posso più parlare con voi.

comunque si: x cresce ''più velocemente'' di log(x)

[Giggles]

è esattamente affermare che x / ln x tende a zero, lo devi dimostrare.

[hisashi]

scusa,ma...
$ \frac{ln x}{x} = \frac {1}{x} ln x = ln x^{\frac{1}{x}} $.Poichè $ x^{\frac{1}{x}} $ tende a uno(dimostrabile col fatto che $ 2^x $ cresce molto più velocemente di $ x $,che quindi,considerando la sua "distanza" tra 1 e 2,si avvicinerà sempre più a 1)il suddetto limite tende a zero.

dimostrare che 2^x [e^x]cresce molto più velocemente di x non equivale concettualmente a dimostrare che (log_2 x)/x [lnx/x] tende a 0? e che quindi non 'vale' dimostrare che lnx/x tende a 0 prendendo per buono che 2^x cresce più velocemente di x?

Distinto e separato dal precedente: Il collegamento tra $ x^{\frac{1}{x}} $ che tende ad uno e 2^x che cresce più veloce di x come sarebbe? purtroppo se non c'ho i passaggi non li riesco ad intuire

[thematrix]

1.Eh sì,credevo di aver trovato una soluzione completamente diversa;me ne sono accorto tardi

2.Il fatto che in $ (1,2) $ la funzione $ x^{\frac{1}{x}} $ si avvicini a 1 è equivalente a quello che $ x $ sia sempre più vicino a $ 1^x $ piuttosto che $ 2^x $(sempre che l'ora non mi giochi brutti scherzi...)