C'è anche una leggera variante della dimostrazione di Simo senza induzione (o meglio, con induzione mascherata) :
sia $ \sigma $ una qualunque permutazione dei primi n naturali; sia
$ i=\min\{k\in\mathbb{N}\ |\ \sigma(k)\neq k\} $, ovvero il più piccolo numero che non viene tenuto fermo dalla permutazione (osserviamo che se j<i, $ \sigma(j)=j $ e quindi $ \sigma(i)>i $).
Ora, sia h tale che $ \sigma(h)=i $ e consideriamo la permutazione $ \tau $ definita come
$ \tau(m)=\sigma(m)\quad \textrm{ se }m\neq i,h $ $ \tau(h)=\sigma(i)\quad\tau(i)=\sigma(h) $
allora
$ \displaystyle{\prod_{m=1}^n(x_m+(x_{\sigma(m)})^{-1})\leq\prod_{m=1}^n(x_m+(x_{\tau(m)})^{-1})} $
poichè
$ (x_i+(x_{\sigma(i)})^{-1}(x_h+(x_i)^{-1})\leq(x_i+(x_i)^{-1})(x_h+(x_{\sigma(i)})^{-1}) $
infatti, svolgendo, viene
$ \displaystyle{1+\frac{x_h}{x_{\sigma(i)}}\leq \frac{x_i}{x_{\sigma(i)}}+\frac{x_h}{x_i}} $
che equivale a
$ x_ix_{\sigma(i)}+x_hx_i\leq x_i^2+x_hx_{\sigma(i)} $
che è il riarrangiamento.
E quindi maggiore di tutte è l'identità.
Prod_{cyc} (x_1 + 1/x_1) >= Prod_{cyc} (x_1 + 1/x_s(1))
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