A me non riescono molto le disuguaglianze ma questa lo trovata abbastanza carina e semplice (perciò i più smaliziati aspettino un po', oppure oscurino la soluzione):
$ a^2+b^2+\ldots+v^2\geq $$ a(b+c+d+e)+f(g+h+i+l)+\ldots+r(s+t+u+v) $
ove ogni lettera è un numero reale.
(Arrangiamento personae di una vecchia disuguaglianza dal gelido nord).
Tutto l'alfabeto tranne la "z"
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enomis_costa88
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Io non sono certo tra i più esperti..però oscuro lo stesso nel caso qualcun'altro voglia tentarla.
Dimostro che $ a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 \ge a(b+c+d+e)=ab+ac+ad+ae $
ovvero $ a^2+b(b-a)+c(c-a)+d(d-a)+e(e-a) \ge 0 $; $ a^2 \ge -b(b-a)-c(c-a)-d(d-a)-e(e-a) $
Se fosse falsa (strettamente) ci sarebbe una 5-upla per cui la media aritmetica tra $ (-b(b-a);-c(c-a)...-e(e-a)) \ge \frac{1}{4}a^2 $
per cui: o quei termini sono tutti uguali o almeno uno (che supporrò -b(b-a)) > $ \frac{1}{4}a^2 $
$ -b(b-a) > \frac{1}{4}a^2 $ ovvero: $ -4b^2+4ab-a^2=-(-2b+a)^2 > 0 $ che è assurdo. Si può però ottenere l'uguaglianza se a=2b.
Nella disuguaglianza iniziale (la mia non quella di Psion) possiamo ottenere l'uguaglianza se i termini(b(b-a);c(c-a)..e(e-a)) sono tutti uguali e a=2b con b=c=d=e.
Ora sommando 4 volte questa disuguaglianza ottengo quella postata da Psion.
Dimostro che $ a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 \ge a(b+c+d+e)=ab+ac+ad+ae $
ovvero $ a^2+b(b-a)+c(c-a)+d(d-a)+e(e-a) \ge 0 $; $ a^2 \ge -b(b-a)-c(c-a)-d(d-a)-e(e-a) $
Se fosse falsa (strettamente) ci sarebbe una 5-upla per cui la media aritmetica tra $ (-b(b-a);-c(c-a)...-e(e-a)) \ge \frac{1}{4}a^2 $
per cui: o quei termini sono tutti uguali o almeno uno (che supporrò -b(b-a)) > $ \frac{1}{4}a^2 $
$ -b(b-a) > \frac{1}{4}a^2 $ ovvero: $ -4b^2+4ab-a^2=-(-2b+a)^2 > 0 $ che è assurdo. Si può però ottenere l'uguaglianza se a=2b.
Nella disuguaglianza iniziale (la mia non quella di Psion) possiamo ottenere l'uguaglianza se i termini(b(b-a);c(c-a)..e(e-a)) sono tutti uguali e a=2b con b=c=d=e.
Ora sommando 4 volte questa disuguaglianza ottengo quella postata da Psion.