Irish Disuguaglianza 1997

[Poliwhirl]

$ \displaystyle a, b, c $ are non-negative reals such that $ \displaystyle a + b + c \geq abc $. Show that $ \displaystyle a^2+b^2+c^2 \geq abc $.

Traduzione:

Siano $ \displaystyle a, b, c $ reali non-negativi tali che $ \displaystyle a+b+c \geq abc $.
Dimostrare che $ \displaystyle a^2+b^2+c^2 \geq abc $.

Bye,
#Poliwhirl#

[mark86]

Ecco una prima parte della soluzione
Siano $ a,b,c \geq 1 $ allora
$ a^2+b^2+c^2 > a+b+c >abc $

[frengo]

proviamo a far diventare la disequazione omogenea

$ \displaystyle a^2+b^2+c^2 \geq \sqrt{abc} \sqrt{abc} $

$ \displaystyle a^2+b^2+c^2 \geq \sqrt{a+b+c} \sqrt{abc} $

$ \displaystyle (a^2+b^2+c^2)^2 \geq abc(a+b+c) $

Possiamo riscriverla così:

$ \displaystyle (3QM)^4 \geq GM^3(3AM) $

dato che QM>=AM e QM>=GM, la disuguaglianza è dimostrata.

Ciao ciao

Francesco

[Pixel]

Uhm... a me non torna il secondo passaggio che hai fatto?

Puoi spiegare meglio please?

Ciao

[frengo]

$ \displaystyle a^2+b^2+c^2 \geq \sqrt{a+b+c} \sqrt{abc} $

in teoria dovevo scrivere così:
$ \displaystyle a^2+b^2+c^2 \geq \sqrt{a+b+c} \sqrt{abc} \geq \sqrt{abc} \sqrt{abc} = abc $

ora, dato che la seconda disuguaglianza è ovvia per ipotesi, se dimostro la prima ho dimostrato che il primo membro è maggiore del terzo.

[enomis_costa88]

Propongo un'altra soluzione.

Solita sostituzione ( $ P=abc $, $ S=a+b+c $ , $ Q=ab+bc+ca $ ).
La tesi diviene: $ S^2-2Q \ge P $

Per il riarrangiamento (si può fare anche in molti altri modi tra cui Mac Laurin) :
$ a^2+b^2+c^2 = S^2-2Q \ge ab+bc+ca=Q $

Per Newton: $ \frac{Q^2}{9}\ge \frac{PS}{3} $ per cui $ Q $ è maggiore del più piccolo tra $ P $ e $ S $ che è $ P $ per ipotesi.

Quindi: $ S^2-2Q \ge Q \ge P $ che prova la tesi.

Simone.