diciamo che un polinomio $ P(x) = a_n x^n + ... + a_0 $ è simmetrico se $ a_i = a_{n-i} $ $ \forall i \in \{0,..,n\} $.
dimostrare che il prodotto di due polinomi simmetrici è simmetrico.
ISL 83 - 3
Se un polinomio simmetrico ha la radice x=a (a<>0) allora ammette anche la
radice x=1/a.Viceversa se un polinomio ha le radici reciproche a coppie
allora esso e' simmetrico .Infatti ,se in un tale polinomio si effettua la sostituzione
x<---1/x, esso deve mantenere le medesime radici e cio' implica che i coeff.
ai e a(n-i) debbano essere uguali (a meno di un inessenziale fattore costante).
Pertanto se R(x) e' il prodotto di due polinomi simmetrici P(x) e Q(x) allora
esso avra' tutte le radici reciproche a coppie (che sono poi quelle di P(x)
e Q(x) eventualmente contate piu' volte) e per quanto detto sara' simmetrico.
radice x=1/a.Viceversa se un polinomio ha le radici reciproche a coppie
allora esso e' simmetrico .Infatti ,se in un tale polinomio si effettua la sostituzione
x<---1/x, esso deve mantenere le medesime radici e cio' implica che i coeff.
ai e a(n-i) debbano essere uguali (a meno di un inessenziale fattore costante).
Pertanto se R(x) e' il prodotto di due polinomi simmetrici P(x) e Q(x) allora
esso avra' tutte le radici reciproche a coppie (che sono poi quelle di P(x)
e Q(x) eventualmente contate piu' volte) e per quanto detto sara' simmetrico.
uhm, ok: avevo ragionato in altro modo (sostanzialmente per evitare il caso di radici complesse..
la mia idea è: se $ p $ è simmetrico e di grado $ m $, allora $ x^{2n}p(\frac{1}{x}) = p(x) $...
ora, evidentemente...
comunque, perfetta ed impeccabile, karl...
ah, va beh: piccolo particolare: non può avere 0 come radice, e sarebbe a dirsi, nella tua soluzione... direi che è un dettaglio, ma non insignificante
la mia idea è: se $ p $ è simmetrico e di grado $ m $, allora $ x^{2n}p(\frac{1}{x}) = p(x) $...
ora, evidentemente...
comunque, perfetta ed impeccabile, karl...
ah, va beh: piccolo particolare: non può avere 0 come radice, e sarebbe a dirsi, nella tua soluzione... direi che è un dettaglio, ma non insignificante
Il problema delle radici nulle me lo sono posto anch'io.
Tuttavia ho fatto queste considerazione.Se un polinomio simmetrico
di grado effettivo n avesse una radice nulla ,dovrebbe
essere $ a_n=0 $ e quindi anche $ a_0=0 $ ovvero
il polinomio risulterebbe di grado n-1 contro l'ipotesi.
In conclusione nessun polinomio simmetrico puo' avere
radici nulle (almeno cosi' mi pare).
Saluti.
Tuttavia ho fatto queste considerazione.Se un polinomio simmetrico
di grado effettivo n avesse una radice nulla ,dovrebbe
essere $ a_n=0 $ e quindi anche $ a_0=0 $ ovvero
il polinomio risulterebbe di grado n-1 contro l'ipotesi.
In conclusione nessun polinomio simmetrico puo' avere
radici nulle (almeno cosi' mi pare).
Saluti.
