Equazione goniometrica #2

[mark86]

Per quali valori del numero reale $ a $ l’equazione

$ 1+sin^2 ax = cos x $
ha una ed una sola soluzione?

[__Cu_Jo__]

Inanzitutto
$ \begin{array}{l} 1 \le 1 + sen^2 ax \le 2 \\ - 1 \le \cos x \le 1 \\ \end{array} $
Quindi l'unica soluzione valida è $ x=0 $, valore per cui ambi i membri assumono il valore 1.Per $ x=0 $ vi sono infiniti valori di a

[ma_go]

veramente, il problema chiedeva un'altra cosa
per quali valori di $ a $ (!!) esiste una ed una sola soluzione (in $ x $) dell'equazione data?

[__Cu_Jo__]

Vi sono infiniti valori di a che danno come unica soluzione x=0.
Bastava leggere al contrario

[EvaristeG]

Ma la domanda del testo è : QUALI SONO I VALORI DI a ?
Non basta dire che sono infiniti...serve dire quali sono.

[__Cu_Jo__]

Va bene,va bene!;ho interpretato male il testo.a può assumere tutti i valori reali

[ma_go]

falso, per $ a=2 $, $ \displaystyle x = \frac{\pi}{2} $ è soluzione.
e comunque avevi dimostrato che per ogni valore di $ a $ esiste almeno una soluzione di quell'equazione, e non che ne esista nemmeno uno per cui $ x=0 $ sia l'unica soluzione... stiamo attenti ai quantificatori (ed al tono)...

[Hammond]

Per quali valori del numero reale $ a $ l’equazione
$ 1+sin^2 ax = cos x $
ha una ed una sola soluzione?

Io dico per tutti e soli gli $ a $ irrazionali...

Dato che il coseno può assumere solo valori tra -1 e 1, si vede subito che, affinchè l'equazione sia verificata, l'unica possibilità è che sia
$ \cos x=1 \implies x=2k\pi $ e
$ \sin^2 ax = 0 \implies ax=h\pi $
con h e k interi qualsiasi.

Intanto notiamo che x=0 è sempre soluzione. Quindi dobbiamo vedere quando non ce ne sono altre.

Abbiamo detto che $ x=2k \pi $, quindi $ ax = (2ak)\pi $, e per quanto detto sopra, se 2ak è intero l'equazione è verificata.

Ora, se a è razionale, diciamo $ a=\frac pq $, l'equazione è verificata per tutti gli infiniti valori di x dati da quei k che sono multipli di q.
Se invece a è irrazionale, 2ak non può mai essere intero: infatti se fosse
2ak = m, m intero
si avrebbe $ a=\frac{m}{2k} $, quindi a sarebbe razionale, contraddizione.