Per una volta, sono d'accordo con Hit ... questo esercizio è algebra.
EG
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Determina il più grande numero reale $ z $ tale che
$ x+y+z=5 $
$ xy+yz+xz=3 $
(con $ x,y $ appartenenti ai Reali)
- Canadian Mathematical Olympiads, 1978 -
Determina....
Il dramma di questi problemi di solito è battezzare il minimo ad occhio, poi dimostrarlo è più semplice, ora non ho tempo di postare.
HINT (piccolo): Riflettere sulle somme simmetriche
------------------------------------------------------------------------------
HINT (grande): Magari della forma (x-k)^2+(y-k)^2+(z-k)^2
HINT (piccolo): Riflettere sulle somme simmetriche
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HINT (grande): Magari della forma (x-k)^2+(y-k)^2+(z-k)^2
A dirla tutta esiste un metodo più "scolastico"... Ricavi la x dalla prima e poi ottieni una equazione di 2° grado in y e z.... A questo punto le condizioni escono fuori dal delta... Se non ho sbagliato i calcoli, il max di z viene poco "prevedibile"... cosa intendi per "battezzare ad occhio", Boll?
@info: A me, non so perchè (forse perchè nelle disuguaglianze il minimo si ha quasi sempre quando le incognite sono uguali, mi viene da porre x e y uguali, questo è battezzare.)
Quindi il mio metodo è questo, per trovare il minimo pongo $ x=y $ e spero. Cosa accade? Mi esce
$ 2x+z=5 $
$ x^2+2xz=3 $
$ x^2+2x(5-2x)=0 $
$ x=3 $ or $ x=\dfrac{1}{3} $
fra queste due la $ z $ massima è in $ x=y=\dfrac{1}{3} $ quindi $ z=5-\dfrac{2}{3} $
Ora devo dimostrare che effettivamente è massimo, visto che ho i reali relativi l'unico modo è formare delle somme di quadrati in cui $ x $ e $ y $ vanno ad annullarsi (le somme normali non servono, prosso prendere i "minimi negativi" e quindi non avere minimo) , in più mi accorgo che ho due cosini simmetrici (com'è il nome???) quindi posso formare tutte le somme simmetriche di secondo grado, quindi devo formare
$ \left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(z-\dfrac{1}{3}\right)^2 $
$ x^2+y^2+z^2-\dfrac{2}{3}(x+y+z)+\dfrac{1}{3} $
$ 19-\dfrac{10}{3}-\dfrac{10}{3}+\dfrac{1}{3} $
$ 16 $
quindi, se annullo i due quadrati con $ x $ e $ y $ mi esce proprio la mia terna quindi ho vinto!!!!!!
(fino a qui era ciò di meno rigoroso si potesse fare, era per far capire le idee che mi hanno portato lì, spero di esserci riuscito)
Dimostrazione rigorosa
$ x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx) $
$ x^2+y^2+z^2=25-6=19 $
$ \left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(z-\dfrac{1}{3}\right)^2= $$ x^2+y^2+z^2-\dfrac{2}{3}(x+y+z)+\dfrac{1}{3}=16 $ (1)
Minimizzando quindi i termini con $ x $ e $ y $ presenti nella (1) si nota che la terna che rende il massimo è $ x=y=\dfrac{1}{3} $ $ z=5-\dfrac{2}{3} $
Quindi il mio metodo è questo, per trovare il minimo pongo $ x=y $ e spero. Cosa accade? Mi esce
$ 2x+z=5 $
$ x^2+2xz=3 $
$ x^2+2x(5-2x)=0 $
$ x=3 $ or $ x=\dfrac{1}{3} $
fra queste due la $ z $ massima è in $ x=y=\dfrac{1}{3} $ quindi $ z=5-\dfrac{2}{3} $
Ora devo dimostrare che effettivamente è massimo, visto che ho i reali relativi l'unico modo è formare delle somme di quadrati in cui $ x $ e $ y $ vanno ad annullarsi (le somme normali non servono, prosso prendere i "minimi negativi" e quindi non avere minimo) , in più mi accorgo che ho due cosini simmetrici (com'è il nome???) quindi posso formare tutte le somme simmetriche di secondo grado, quindi devo formare
$ \left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(z-\dfrac{1}{3}\right)^2 $
$ x^2+y^2+z^2-\dfrac{2}{3}(x+y+z)+\dfrac{1}{3} $
$ 19-\dfrac{10}{3}-\dfrac{10}{3}+\dfrac{1}{3} $
$ 16 $
quindi, se annullo i due quadrati con $ x $ e $ y $ mi esce proprio la mia terna quindi ho vinto!!!!!!
(fino a qui era ciò di meno rigoroso si potesse fare, era per far capire le idee che mi hanno portato lì, spero di esserci riuscito)
Dimostrazione rigorosa
$ x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx) $
$ x^2+y^2+z^2=25-6=19 $
$ \left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(z-\dfrac{1}{3}\right)^2= $$ x^2+y^2+z^2-\dfrac{2}{3}(x+y+z)+\dfrac{1}{3}=16 $ (1)
Minimizzando quindi i termini con $ x $ e $ y $ presenti nella (1) si nota che la terna che rende il massimo è $ x=y=\dfrac{1}{3} $ $ z=5-\dfrac{2}{3} $
Ultima modifica di Boll il 08 lug 2005, 13:26, modificato 4 volte in totale.
Riorganizzando i calcoli si puo' scrivere questo sistema simmetrico:
$ \displaystyle \{x+y=5-z;xy=3-z(x+y)=z^2-5z+3 \} $
da cui si ricava l'equazione $ \displaystyle t^2-(5-z)t+(z^2-5z+3)=0 $
dove t rappresenta indifferentemente x o y.
Per la realita' di t deve essere:
$ \displaystyle (5-z)^2-4(z^2-5z+3) \geq0 $
od anche :$ \displaystyle 3z^2-10z-13 \leq0 $
Da cui:$ \displaystyle -1\leq z\leq \frac{13}{3} $
Pertanto $ \displaystyle z_{min}=-1,z_{max}=\frac{13}{3} $
$ \displaystyle \{x+y=5-z;xy=3-z(x+y)=z^2-5z+3 \} $
da cui si ricava l'equazione $ \displaystyle t^2-(5-z)t+(z^2-5z+3)=0 $
dove t rappresenta indifferentemente x o y.
Per la realita' di t deve essere:
$ \displaystyle (5-z)^2-4(z^2-5z+3) \geq0 $
od anche :$ \displaystyle 3z^2-10z-13 \leq0 $
Da cui:$ \displaystyle -1\leq z\leq \frac{13}{3} $
Pertanto $ \displaystyle z_{min}=-1,z_{max}=\frac{13}{3} $