Disuguaglianza solo numeri

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Boll
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Disuguaglianza solo numeri

Messaggio da Boll » 30 giu 2005, 11:49

Provare che:
$ \dfrac{1}{44}>\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{6}\cdot...\cdot\dfrac{1997}{1998}>\dfrac{1}{1999} $

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HumanTorch
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Messaggio da HumanTorch » 30 giu 2005, 13:30

Definiamo per chiarezza la serie $ f(n)=1-\frac{1}{2n} $ e analogamente la produttoria come $ g(n)=\prod_{i=1}^{n} i^{(-1)^{i-1}} $

Prima parte: $ g(1998)>\frac{1}{1999} $.
Dim: il prodotto $ h(1998)=\prod_{i=1}^{1998} \frac{i}{i+1} $ conta più termini di $ g(1998) $ tutti minori di $ 1 $, quindi $ h(1998)<g(1998) $; ma $ h(1998) $ è una serie telescopica, dove si semplificano tutti i termini, e assume pertanto valore $ \frac{1}{1999} $, quindi $ g(n)>h(n)=\frac{1}{1999} $

Seconda parte: $ g(1998)<\frac{1}{44} $
Dim:Sfruttiamo la precedente dimostrazione: la serie $ h(n)=\frac{1}{1999} $. Ma si nota che $ \frac{h(n)}{g(n)}>g(n) $(1), poichè $ \frac{n}{n+1}<\frac{n+1}{n+2} $, quindi, moltiplicando entrambi i membri della (1) per $ g(n) $ otteniamo $ g(n)^2<h(n) $, nel nostro caso $ g(1998)^2<\frac{1}{1999} $, da cui la radice quadrata $ g(1998)<\sqrt{\frac{1}{1999}} $, ed essendo la radice quadrata di $ 1999 $ $ >44 $,
$ g(n)<\frac{1}{44} $

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Marco
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Messaggio da Marco » 30 giu 2005, 14:08

H.T., per cortesia, se vedi che un tuo messaggio con formule LaTeX riempie la pagina di strani messaggi d'errore, dovresti editare il tuo messaggio e correggere le formule che compaiono come

Codice: Seleziona tutto

[unparseable or potentially dangerous latex formula]
L'errore più comune è dimenticare di chiudere una parentesi graffa {}. Per editare un tuo messaggio, basta clickare su "modifica" nell'angolo in alto a destra del messaggio. Grazie. M.
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HumanTorch
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Messaggio da HumanTorch » 30 giu 2005, 14:35

Chiedo scusa, non avevo notato alcuna scritta quando ho postato..la prossima volta starò più attento, sorry
Ultima modifica di HumanTorch il 30 giu 2005, 14:50, modificato 1 volta in totale.

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Boll
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Messaggio da Boll » 30 giu 2005, 14:38

Ok, Human, le idee sono quelle (la serie telescopia più che altro, che è l'unica cosa da vedere) tuttavia, cavoli, potresti sforzarti di scriverle meglio!!!! :twisted: :twisted:

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info
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Messaggio da info » 30 giu 2005, 20:41

Credo che, con le medesime idee di Human, si possa dimostrare che quella produttoria è > 1/ rad(2*1998)... Chi vuole provare a confutare o dimostrare?

AlessandroSfigato
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Messaggio da AlessandroSfigato » 01 lug 2005, 10:23

io per dimostrare la prima parte dell'esercizio avevo un'ideuzza divertente;
per dimostrare che 1/2x3/4x5/6x1997/1998 > 1/1999 innanzi tutti kiamiamo il primo bembro della disuguaglianza C. Ora se sottraiamo un'unità da tutti numeratori di C (tranne dal primo, cioè 1/2) otterremo sicuramente una quantità più piccola di C. Ma è facile notare che questa quantità è 1/1998 dato che si semplifica ogni numeratore col denominatore della frazione precedente.
Ora se C > 1/1998, essendo 1/1998 > 1/1999, allora C > 1/1999.

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karl
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Messaggio da karl » 01 lug 2005, 11:45

In risposta al quesito di Info.

$ P=\displaystyle\frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6}\dots\frac{1997}{1998} $

$ 2P=\displaystyle\frac{3}{4}\frac{5}{6}\frac{7}{8}\dots\frac{1997}{1998} $

$ \displaystyle2P>\frac{2}{3}\frac{4}{5}\frac{6}{7}\dots\frac{1996}{1997} $

$ \displaystyle4P^2>\frac{2}{1998}--->P>\frac{1}{\sqrt{2*1998}} $

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Re: Disuguaglianza solo numeri

Messaggio da Marco » 01 lug 2005, 15:24

...che migliora l'enunciato in maniera spettacolare:
Boll et al. ha scritto:Provare che:
$ \dfrac{1}{44}>\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{6}\cdot...\cdot\dfrac{1997}{1998}>\dfrac{1}{64} $
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Messaggio da Melkon » 01 lug 2005, 23:21

mmh, tragicamente non capisco il secondo (e il terzo) passaggio della dim di karl... me la spieghi per favore? grazie...
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Messaggio da HumanTorch » 01 lug 2005, 23:59

Melkon ha scritto:mmh, tragicamente non capisco il secondo (e il terzo) passaggio della dim di karl... me la spieghi per favore? grazie...
Se permetti Karl, posto io, data la mia ormai rinomata abilità di oratore:
passaggio #2: si moltiplica per $ 2 $ e il primo membro della produttoria, essendo $ \frac{1}{2}\cdot 2=1 $, venendo moltiplicato per $ 2 $ può essere omesso; nel terzo passaggio, si può confrontare il secondo membro del terzo passaggio con il secondo membro del secondo passaggio: l' $ n $-simo termine del secondo passaggio è sempre maggiore del corrispondente del terzo, poichè $ \frac{n+2}{n+3}>\frac{n}{n+1} $: $ \frac{3}{4}>\frac{2}{3} $, $ \frac{5}{6}>\frac{4}{5} $ e così via

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Messaggio da Melkon » 03 lug 2005, 00:03

HumanTorch ha scritto:nel terzo passaggio, si può confrontare il secondo membro del terzo passaggio con il secondo membro del secondo passaggio: l' $ n $-simo termine del secondo passaggio è sempre maggiore del corrispondente del terzo, poichè $ \frac{n+2}{n+3}>\frac{n}{n+1} $: $ \frac{3}{4}>\frac{2}{3} $, $ \frac{5}{6}>\frac{4}{5} $ e così via
il primo passaggio mi è chiaro. ma è il secondo e il terzo (che tu chiami terzo e suppongo quarto) che non capivp. E credo che debba essere $ \frac{n+1}{n+2}>\frac{n}{n+1} $ anche se non sono ancora del tutto convinto della validità del ragionamento... da dove spunta fuori?
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Messaggio da Marco » 04 lug 2005, 08:16

Melkon ha scritto:E credo che debba essere $ \frac{n+1}{n+2}>\frac{n}{n+1} $ anche se non sono ancora del tutto convinto della validità del ragionamento... da dove spunta fuori?
Diamine!! E' una banalissima disqz di 2o grado. Oppure è un'iperbole equilatera sul ramo crescente...
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Messaggio da Melkon » 04 lug 2005, 10:49

ah cavolo che idiota, giustissimo... :oops:
ora mi manca solo il penultimo pass dove credo elevi al quadrato ma non capisco perché a destra venga 2/1998... poi è chiaro dividi per 4 e rifai la radice, ma prima, boh...
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Messaggio da Simo_the_wolf » 04 lug 2005, 10:53

karl ha scritto: $ 2P=\displaystyle\frac{3}{4}\frac{5}{6}\frac{7}{8}\dots\frac{1997}{1998} $

$ \displaystyle2P>\frac{2}{3}\frac{4}{5}\frac{6}{7}\dots\frac{1996}{1997} $

$ \displaystyle4P^2>\frac{2}{1998}--->P>\frac{1}{\sqrt{2*1998}} $
@ Melkon: prova a moltiplicare la prima espressione con la seconda...

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