Shapiro long

[Simo_the_wolf]

La disuguaglianza di Shapiro ci dice che:
$ \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac {x_i}{x_{i+1}+x_{i+2}} \geq \frac n2 $
Per $ n $ pari minore di $ 12 $ e $ n $ dispari minore di $ 23 $. Dimostratemi invece che per ogni $ n $ vale almeno una di queste due disuguaglianze:

$ \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac {x_i}{x_{i+1}+x_{i+2}} \geq \frac n2 $
$ \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac {x_i}{x_{i-1}+x_{i-2}} \geq \frac n2 $

In seguito a lamentele, preciso che tutti gli $ x_i $ nominati sono da considerarsi reali positivi

[HumanTorch]

Allora, siano $ (a_i) $, $ (a'_i) $ e $ (a''_i) $ tre successioni, la prima quella originale, la seconda un riordinamento della prima tale che i termini siano ordinati in modo crescente e la terza un altro riordinamento prima tale che i suoi termini siano ordinati in maniera decrescente $ a_j>a_k $ sse $ j<k $).
Creiamo ora anche le serie $ (b_i) $, $ (b'_i) $ e $ (b''_i) $ dove $ b_0=b'_t=b''_f=\frac{1}{(a_1+a_2)} $ e via dicendo, e $ (c_i) $, $ (c'_i) $ e $ (c''_i) $ dove $ c_2=c'_{t+2}=c''_{f+2}=\frac{1}{(a_0+a_1)} $ e sempre così proseguendo. Per riordinamento il prodotto $ a_ib_i $ assume i valori minori quando $ (a_i)(b_i)=(a'_i)(b'_i) $ o $ (a_i)(b_i)=(a''_i)(b''_i) $.
Esaminiamo questi due casi (il caso 2 comunque è analogo al primo, solo visogna prendere in esame l'altra disuguaglianza)

#1 Essendo $ a_i>a_{i-1}>a_{i-2} $ avremo $ \frac{2a_i}{a_{i-1}+a_{i-2}}\ge 1 $ ovvero $ \frac{a_i}{a_{i-1}+a_{i-2}}\ge \frac{1}{2} $, $ \forall i \in [2;n] $, quindi la somma dei primi $ n-2 $ termini è maggiore di $ n-2 $..per i restanti due addendi rimando qui

[frengo]

eccomi anch'io:
innanzi tutto per dimostrare che una delle due disuguaglianze basta dimostrare che

$ \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac {x_i}{x_{i+1}+x_{i+2}} + \sum_{i=1}^n \frac {x_i}{x_{i-1}+x_{i-2}}\geq n $

ovvero

$ \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac {x_i+x_{i+3}}{x_{i+1}+x_{i+2}} \geq n $

ora definisco $ S_1 , S_2... S_n $ i numeri $ x_1+x_2, x_2+x_3, ... ,x_n+x_1 $.

La disuguaglianza diventa

$ \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac {S_i+S_{i+2}-S_{i+1}}{S_{i+1}}\geq n $
ovvero
$ \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac {S_i+S_{i+2}}{S_{i+1}}\geq 2n $
$ \displaystyle \frac {\sum_{i=1}^n \frac {S_{i-1}}{S_i}+\sum_{i=1}^n \frac {S_{i+1}}{S_i}}{2n}\geq 1 $
vera per AM/GM