Non ce la farete mai!

[karl]

Sono sicuro invece che la risolverete subito.
$ \displaystyle \[ \left( {1 + \frac{2}{n}} \right)^2 \le \frac{{\left( \begin{array}{l} n \\ k \\ \end{array} \right)^2 }}{{\left( \begin{array}{l} \,\,\,\,n \\ k + 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{l} \,\,\,n \\ k - 1 \\ \end{array} \right)}} \] \] $

con $ n \geq 2 $ , $ 1 \leq k < n $

[Boll]

Carina!! Spero di non aver sbagliato conti o segni vari...

$ MDD $ membro di destra

$ \displaystyle \dfrac{\binom{n}{k}}{\binom{n}{k+1}}=\frac{k+1}{n-k} $

$ \displaystyle \dfrac{\binom{n}{k}}{\binom{n}{k-1}}=\frac{n-k+1}{k} $

Quindi
$ \displaystyle MDD=\frac{n-k+1}{k}\cdot \frac{k+1}{n-k}=\left(1+\frac{1}{k}\right)\left(1+\frac{1}{n-k}\right) $

Ma allora per Cauchy
$ MDD\ge \left(1+\dfrac{1}{\sqrt{k(n-k)}}\right)^2 $

Ma, per AM-GM, sfruttando la limitazione sul $ k $ per affermare che $ n $ e $ n-k $ sono entrambi positivi.

$ \sqrt{k(n-k)}\le \dfrac{n-k+k}{2} $
$ \dfrac{1}{\sqrt{k(n-k)}} \ge \dfrac{2}{n} $
$ \dfrac{1}{\sqrt{k(n-k)}}+1 \ge \dfrac{2}{n}+1 $
$ \left(\dfrac{1}{\sqrt{k(n-k)}}+1\right)^2 \ge \left(\dfrac{2}{n}+1\right)^2 $

Quindi
$ MDD\ge \left(\dfrac{2}{n}+1\right)^2 $
q.e.d.

[Igor]

Svolgendo i conti ci resta

$ (n+1)(n-2k)^2\geq 0 $, che è sempre verificata.L'uguaglianza si ha se

$ n=2t $,$ k=t $

[Boll]

Questa volta Igor sei arrivato in ritardo di ben 6 minuti

[karl]

Soluzioni buone entrambe.Do una leggera preferenza a quella di boll perche'
non mescola i due membri della disuguaglianza, ma si tratta di un punto
di vista del tutto personale.

[HumanTorch]

Soluzione simile a quella di Boll, ma senza applicare Cauchy-Schwarz (fatico già a prinunciarlo), ma riconducendosi all'espressione
$ 1+\frac{1}{\Delta}\ge (\frac{n+2}{nk})^2 $ (1), dove $ \Delta:=n-k $: si nota immediatamente che per $ k\ge 2 $ la disequazione è rispettata..(magari aiutandosi, ponendo al denominatore del secondo membro $ -nk $ al posto di $ nk $ -non cambia niente, tanto poi si eleva al quadrato- e considerando $ S=n-k $ e $ P=n(-k) $ con le particolari relazioni che intercorrono..o esaminando semplicemente il caso $ k=1 $

Dalla (1) si ottiene anche la proporzione per trovare i casi dell'uguaglianza, ovvero quando $ n=2k $