Dati $ a,b,c,d \in \mathbb{R}^+ $ tali che $ abcd=1 $ dimostrare che:
$ \displaystyle \frac 1{a(b+1)} + \frac 1{b(c+1)} + \frac 1{c(d+1)} + \frac 1{d(a+1)} \geq 2 $
Disuguaglianzuola
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Simo_the_wolf
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.Vediamo se qualcuno(io non ne sono capace) la risolve senza utilizzare la disuguaglianza di Shapiro!-
HumanTorch
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Intanto posto qualcosa, poi vi pongo una domanda..
L'uguaglianza si ha se $ a=b=c=d=1 $(per ora)
Riscriviamo la disuguaglianza come $ \displaystyle \frac {bcd}{b+1} + \frac {acd}{c+1} + \frac {abd}{d+1} + \frac {bcd}{a+1} \geq 2 $.
Per simmetria ciclica poniamo $ a<1 $ e almeno un altro parametro
$ >1 $.
Poniamo $ abcd $ al posto di $ 1 $ e semplifichiamop il
semplificabile e chiamiamo ogni tripletta con la lettera mancante (es. $ abc=D $).ABCD=1, quindi anche tali valori rispettano l'ipotesi
Si sottragga $ \sum_{cycl}^4 \frac{x_{n+1}}{x_n(x_{n+1}+1)} $ ovvero ognuno degli addendi del primo membro moltiplicato per il secondo fattore (nella prima $ b $, nella seconda $ c $..) A questo punto il primo membro diventa $ -\sum_{k=1}^4 \frac{1}{x_k} $ quindi $ \sum_{cycl}^4 \frac{x_{n+1}}{x_n(x_{n+1}+1)}>2 $. Questa però è una dis più debole...
Ora, possiamo supporre che $ a=b^{-1} $ senza perdere generalità? altrimenti tutto il resto del proof fa a farsi friggere..
L'uguaglianza si ha se $ a=b=c=d=1 $(per ora)
Riscriviamo la disuguaglianza come $ \displaystyle \frac {bcd}{b+1} + \frac {acd}{c+1} + \frac {abd}{d+1} + \frac {bcd}{a+1} \geq 2 $.
Per simmetria ciclica poniamo $ a<1 $ e almeno un altro parametro
$ >1 $.
Poniamo $ abcd $ al posto di $ 1 $ e semplifichiamop il
semplificabile e chiamiamo ogni tripletta con la lettera mancante (es. $ abc=D $).ABCD=1, quindi anche tali valori rispettano l'ipotesi
Si sottragga $ \sum_{cycl}^4 \frac{x_{n+1}}{x_n(x_{n+1}+1)} $ ovvero ognuno degli addendi del primo membro moltiplicato per il secondo fattore (nella prima $ b $, nella seconda $ c $..) A questo punto il primo membro diventa $ -\sum_{k=1}^4 \frac{1}{x_k} $ quindi $ \sum_{cycl}^4 \frac{x_{n+1}}{x_n(x_{n+1}+1)}>2 $. Questa però è una dis più debole...
Ora, possiamo supporre che $ a=b^{-1} $ senza perdere generalità? altrimenti tutto il resto del proof fa a farsi friggere..
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HumanTorch
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Infatti, c'ho strutturato una misera dimostrazione ma ho perso generalità. Comunque ora sto optando per altre vie, thanks anyway
@Cu_jo: Shapiro? Ideuzza..perchè dopo i topic su angoli e serie non si stila un bel bestiario sulle principali disuguagliuanze (per ora si sono citate, se non erro, Jansen, Ramanujam, Cauchy-Schwartz e forse Young)
@Cu_jo: Shapiro? Ideuzza..perchè dopo i topic su angoli e serie non si stila un bel bestiario sulle principali disuguagliuanze (per ora si sono citate, se non erro, Jansen, Ramanujam, Cauchy-Schwartz e forse Young)
Questa è la soluzione con Shapiro.Vediamo se qualcuno ne trova altre.
Tutto il problema sta nella magica sostituzione:
$ \displaymatch a = \frac{z}{x}\,\,\,b = \frac{y}{z}\,\,\,c = \frac{w}{y}\,\,\,d = \frac{x}{w} $
che è assolutamente valida dato che $ abcd=1 $.Dopo la sostituzione si arriva alla disuguaglianza di Shapiro per 4 variabili.
A questo punto basta applicare Cauchy-Schwartz:
$ \displaymatch \frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{x + w}} + \frac{z}{{y + w}} + } \frac{w}{{z + x}} - 2 \ge $$ \displaymatch \frac{{\left( {x + y + z + w} \right)^2 }}{{x\left( {y + z} \right) + y\left( {x + w} \right) + z\left( {y + w} \right) + w\left( {z + x} \right)}} - 2 = $$ \frac{{\left( {x - y} \right)^2 + \left( {z - w} \right)^2 }}{{x\left( {y + z} \right) + y\left( {x + w} \right) + z\left( {y + w} \right) + w\left( {z + x} \right)}} \ge 0 $
Tutto il problema sta nella magica sostituzione:
$ \displaymatch a = \frac{z}{x}\,\,\,b = \frac{y}{z}\,\,\,c = \frac{w}{y}\,\,\,d = \frac{x}{w} $
che è assolutamente valida dato che $ abcd=1 $.Dopo la sostituzione si arriva alla disuguaglianza di Shapiro per 4 variabili.
A questo punto basta applicare Cauchy-Schwartz:
$ \displaymatch \frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{x + w}} + \frac{z}{{y + w}} + } \frac{w}{{z + x}} - 2 \ge $$ \displaymatch \frac{{\left( {x + y + z + w} \right)^2 }}{{x\left( {y + z} \right) + y\left( {x + w} \right) + z\left( {y + w} \right) + w\left( {z + x} \right)}} - 2 = $$ \frac{{\left( {x - y} \right)^2 + \left( {z - w} \right)^2 }}{{x\left( {y + z} \right) + y\left( {x + w} \right) + z\left( {y + w} \right) + w\left( {z + x} \right)}} \ge 0 $
Ultima modifica di __Cu_Jo__ il 24 giu 2005, 08:07, modificato 1 volta in totale.
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Simo_the_wolf
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