Sempre una funzionale tuscanica

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Azarus
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Sempre una funzionale tuscanica

Messaggio da Azarus » 20 giu 2005, 14:14

Determinare tutte le funzioni di variabile reale tali che

$ f(xy^2) = (f(x+y))^2 + f(x^2) + yf(y^2) $

con x,y reali.

Igor
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Messaggio da Igor » 20 giu 2005, 14:46

Poniamo $ x=y=0 $, ottenendo:

$ f(0)=f(0)^2+f(0) $, da cui $ f(0)=0 $.

Poniamo ora $ x=0 $, ottenendo:

$ f(0)=f(y)^2+f(0)+yf(y^2) $,da cui:

(A)$ f(y)^2+yf(y^2)=0 $

Poniamo $ y=0 $:

$ f(0)=f(x)^2+f(x^2) $,da cui:

(B)$ f(x)^2+f(x^2)=0 $

Ponendo $ y=x $ nella (A), otteniamo:

(C)$ f(x)^2+xf(x^2)=0 $

Confrontando la (B) e la (C), troviamo che deve essere:

$ f(x^2)=xf(x^2) $, la cui unica soluzione è $ f(x)=0 $.

Sostituendo nell'equazione di partenza si verifica che la funzione è effettivamente valida.

fph
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Messaggio da fph » 20 giu 2005, 15:26

Igor ha scritto: $ f(x^2)=xf(x^2) $, la cui unica soluzione è $ f(x)=0 $.
Sicuro? Innanzitutto da questo ricavi che f(x)=0 solo per x \ge 0...
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Boll
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Messaggio da Boll » 20 giu 2005, 16:24

$ f(xy^2)=(f(x+y))^2+f(x^2)+yf(y^2) $ (1)

$ x,y\rightarrow 0 $ nella 1
$ f(0)=f(0)^2+f(0) $
$ f(0)=0 $

$ y\rightarrow 1 $ nella 1
$ f(x)=(f(x+1))^2+f(x^2)+f(1) $ (2)

$ x\rightarrow 1 $ nella 1
$ f(y^2)+(f(y+1))^2+f(1)+yf(y^2) $ (3)

$ x\rightarrow y $ nella 3
$ f(x^2)+(f(x+1))^2+f(1)+xf(x^2) $ (4)

(2)-(4)
$ f(x)-f(x^2)=f(x^2)-xf(x^2) $
$ f(x)=(2-x)f(x^2) $ (5)

$ y\rightarrow 0 $ nella 1
$ f(x)^2+f(x^2)=f(0) $
$ f(x)^2+f(x^2)=0 $ (6)

Confrontando (5) e (6) avremo
$ f(x)^2+\dfrac{f(x)}{2-x}=0 $
$ f(x)\left[f(x)+\dfrac{1}{2-x}\right] $=0
quindi
$ f(x)=0 $ or $ f(x)=-\dfrac{1}{2-x} $ poi si fanno i conti e si vede se entrambe funzionano effettivamente

fph
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Messaggio da fph » 20 giu 2005, 16:36

Boll ha scritto: Confrontando (5) e (6) avremo
$ f(x)^2+\dfrac{f(x)}{2-x}=0 $
$ f(x)\left[f(x)+\dfrac{1}{2-x}\right] $=0
quindi
$ f(x)=0 $ or $ f(x)=-\dfrac{1}{2-x} $ poi si fanno i conti e si vede se entrambe funzionano effettivamente
hmm... e se fosse f(x)=0 per un po' di valori nel dominio e f(x)=1/(2-x) per degli altri? Come escludi questo caso?

Attenzione, le funzionali sono tricky :-)
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Messaggio da Azarus » 21 giu 2005, 09:12

fph ha scritto:
Sicuro? Innanzitutto da questo ricavi che f(x)=0 solo per x \ge 0...
Non dimostri invece che $ f(x^2)=0 $ ?

Il che, combinato con il Lemma 5 di Boll fornirebbe una soluzione molto più bella di quella che avevo trovato all'inizio

fph
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Messaggio da fph » 21 giu 2005, 09:23

Azarus ha scritto:
fph ha scritto: Sicuro? Innanzitutto da questo ricavi che f(x)=0 solo per x \ge 0...
Non dimostri invece che $ f(x^2)=0 $ ?
hmm... forse stiamo dicendo la stessa cosa senza capirci:
$ f(x)=0 \quad\forall x \in \mathbb \R,\,x\ge 0 $ e
$ f(x^2)=0 \quad \forall x \in \mathbb R $
sono la stessa cosa (basta porre x_della_prima_equazione=x_della_seconda^2 e viceversa).
Cmq riguardando la soluzione di Igor mi sono accorto che da questo si conclude subito usando la (B)... quindi la sol mi sembra funzionante (e anche bella :-)).

ciao,
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Messaggio da Azarus » 21 giu 2005, 09:41

Mi era sfuggito il \ge :D

Comunque è vero, funziona ed è pure più bella

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