L'n-esima disuguaglianza, suppongo...

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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HiTLeuLeR
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L'n-esima disuguaglianza, suppongo...

Messaggio da HiTLeuLeR » 18 giu 2005, 17:32

Va', che ogni tanto mi cimento anche di qua... :roll:

Problema #1: siano $ n $ un intero $ \geq 2 $ ed $ x_1, x_2, \ldots, x_n\in\mathbb{R}^+ $. Provare che $ \dfrac{x_1^2}{x_2^2} + \dfrac{x_2^2}{x_3^2} + \ldots + \dfrac{x_n^2}{x_1^2} \geq $ $ \dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_3} +\ldots + \dfrac{x_n}{x_1} $, e stabilire in quali casi sussiste l'uguaglianza.

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NicolasBourbaki
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Messaggio da NicolasBourbaki » 18 giu 2005, 18:21

Scusatemi..sono molto di fretta quindi non scrivo le formule cmq è immediato.
1-usare QM-AM (quadrando) per modificare il primo membro
2-usare AM-GM per concludere (si osservi che i termini a secondo membro hanno sempre media geometrica 1).
Uguaglianza:iff i termini a secondo membro sono tutti uguali tra loro iff sono uguali tra loro i vari x (con indice da 1 ad n).
Speriamo che la fretta non mi sia stata troppo cattiva consigliera..

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Pixel
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Messaggio da Pixel » 18 giu 2005, 18:35

Bah posto anche la mia anche se non sono molto sicuro, comunque sia eccovela:
Applichiamo M.Q>=M.A ed otteniamo:
$ (\frac{x_1}{x_2})^2+\dots+(\frac{x_n}{x_1})^2\geq\frac{1}{n}*(\frac{x_1}{x_2}+\dots+\frac{x_n}{x_1})^2 $ (1)
A questo punto notiamo che per la disuguaglianza di riarrangiamento si ha
$ }\frac{x_1}{x_2}+\dots+\frac{x_n}{x_1}\geq n $ ma allora
$ (\frac{x_1}{x_2}+\dots+\frac{x_n}{x_1})^{-1}\leq\frac{1}{n} $
che applicata alla (1) fornisce la tesi

Il segno uguale dovrebbe valere se e solo se $ x_1=...=x_n $ ma questo è ancora da controllare.

Ditemi che ne pensate :oops:
Ciao
P. Andrea

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Boll
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Re: L'n-esima disuguaglianza, suppongo...

Messaggio da Boll » 18 giu 2005, 19:00

Non ho ancora letto la Pixel's, ma mi pare che la disug abbia Cauchy stampato in faccia.
HiTLeuLeR ha scritto:Problema #1: siano $ n $ un intero $ \geq 2 $ ed $ x_1, x_2, \ldots, x_n\in\mathbb{R}^+ $. Provare che $ \dfrac{x_1^2}{x_2^2} + \dfrac{x_2^2}{x_3^2} + \ldots + \dfrac{x_n^2}{x_1^2} \geq $ $ \dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_3} +\ldots + \dfrac{x_n}{x_1} $, e stabilire in quali casi sussiste l'uguaglianza.
Per Cauchy-Schwarz
$ (1+1+...+1)\left(\dfrac{x_1^2}{x_2^2} + \dfrac{x_2^2}{x_3^2} + \ldots + \dfrac{x_n^2}{x_1^2}\right)\ge \left(\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_3} +\ldots + \dfrac{x_n}{x_1}\right)^2 $
$ \left(\dfrac{x_1^2}{x_2^2} + \dfrac{x_2^2}{x_3^2} + \ldots + \dfrac{x_n^2}{x_1^2}\right)\ge \dfrac{1}{n}{\left(\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_3} +\ldots + \dfrac{x_n}{x_1}\right)^2 $
rimane da provare che
$ \dfrac{1}{n}{\left(\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_3} +\ldots + \dfrac{x_n}{x_1}\right)^2\ge \dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_3} +\ldots + \dfrac{x_n}{x_1} $
$ \dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_3} +\ldots + \dfrac{x_n}{x_1}\ge n $
che è celeberrima LINK!

Quindi l'uguaglianza se sussistono entrambe le uguaglianze, la seconda si ha sse $ x_i=x_j $$ \forall i,j $, in questo caso vale anche la prima. End
Ultima modifica di Boll il 18 giu 2005, 19:08, modificato 1 volta in totale.

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Pixel
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Messaggio da Pixel » 18 giu 2005, 19:07

sì che è poi la mia :lol:
P. Andrea

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Messaggio da Boll » 18 giu 2005, 19:11

Ezzi, scusa per il quasi-doppione :D

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Messaggio da Pixel » 18 giu 2005, 19:13

Ma figurati :lol:

Ciao alla prossima
P. Andrea

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Messaggio da NicolasBourbaki » 18 giu 2005, 19:34

Diciamo che è sempre la stessa zuppa rigirata in tre piatti diversi..!!

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Messaggio da HiTLeuLeR » 18 giu 2005, 20:28

Ok a tutti e tre!!!

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HumanTorch
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Messaggio da HumanTorch » 19 giu 2005, 00:22

Se non dispiace mi inserisco anch'io, sono appena tornato e non ho letto le altre soluzioni, quindi chiedo venia per eventuali boiate:

Allora, innanzitutto dati $ n $ numeri la cui media è data, il valore minimo per $ \sum^n_{i=1} a_i^2 $ è dato quando $ a_i=a_j $ per ogni $ i,j $ distinti. La dimostrazione va da sè per induzione (ovvero, se $ n=2 $, $ (m-a)^2+(m+a)^2>2m^2 $ con $ a\neq 0 $ e così via). Quindi consideriamo il peggiore dei casi, ovvero quello appena esposto
Ma la disuguaglianza fra tutti i terminisi ottiene solo quando $ x_i=x_j $, con $ i,j $ naturali distinti (il rapporto deve essere sempre $ 1 $ altrimenti non c'è coincidenza con le altre frazioni); ma in tale caso si ha l'uguaglianza ($ n=n $); quindi per tutti i restanti casi si ha la tesi dimostrata

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Messaggio da HiTLeuLeR » 20 giu 2005, 08:37

HumanTorch ha scritto:[...] dati $ n $ numeri la cui media è data, il valore minimo per $ \sum^n_{i=1} a_i^2 $ è dato quando $ a_i=a_j $ per ogni $ i,j $ distinti.
Essì, su questo punto mi ritrovo, sì... Del resto, basta giusto invocare la disuguaglianza QM-AM, tenendo conto del fatto che - per ipotesi - la media aritmetica di $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ è fissata.
HumanTorch ha scritto:Quindi consideriamo il peggiore dei casi, ovvero quello appena esposto. Ma la disuguaglianza fra tutti i termini si ottiene solo quando $ x_i=x_j $, con $ i,j $ naturali distinti (il rapporto deve essere sempre $ 1 $ altrimenti non c'è coincidenza con le altre frazioni); ma in tale caso si ha l'uguaglianza ($ n=n $); quindi per tutti i restanti casi si ha la tesi dimostrata.
HumanTorch, in questo modo dimostri soltanto che le espressioni $ E_1(x_1, \ldots, x_n) := \dfrac{x_1^2}{x_2^2} + \ldots + \dfrac{x_n^2}{x_1^2} $ ed $ E_2(x_1, \ldots, x_n) := \dfrac{x_1^2}{x_2^2} + \ldots + \dfrac{x_n^2}{x_1^2} \leq n $ raggiungono entrambe il proprio minimo se $ x_1 = x_2 = \ldots = x_n $, supposte le variabli reali e positive. Ma d'altro canto questo non implica affatto che, in generale, sia $ E_1(x_1, \ldots, x_n) \geq E_2(x_1, \ldots, x_n) $, se $ x_1, x_2, \ldots, x_n\in\mathbb{R}^+ $. Una tal conclusione sarebbe valsa, casomai, se il minimo dell'una espressione fosse coinciso con il massimo dell'altra! Ma siccome non è questo il caso... :|

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Messaggio da enomis_costa88 » 27 giu 2005, 07:53

Premetto che questa è una delle prime disequazioni su cui mi cimento..quindi nel caso probabilissimo in cui abbia sbagliato qualcosa vi prego di non aggredirmi ma di correggermi..grazie.
Pulendo i denominatori risulta:
$ \sum x_1^4*x_3^2*\dots*x_n^2 \ge \sum x_1^3*x_2*x_3^2*\dots*x_n^2 $
che dovrebbe essere vera per il bunching.
Ps si può applicare cosi(nel senso che è una sommatoria ciclica non simmetrica)???
Pps se qualcuno avesse qualche semplice disequazione da postare in modo tale da poter essere iniziato alla loro risoluzione..ne sarei molto grato.
Buona giornata Simone

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Re: L'n-esima disuguaglianza, suppongo...

Messaggio da ma_go » 27 giu 2005, 10:17

Boll ha scritto:Per Cauchy-Schwarz
$ (1+1+...+1)\left(\dfrac{x_1^2}{x_2^2} + \dfrac{x_2^2}{x_3^2} + \ldots + \dfrac{x_n^2}{x_1^2}\right)\ge \left(\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_3} +\ldots + \dfrac{x_n}{x_1}\right)^2 $
ehm... boll, stai cominciando a degenerare, come cinesi e vietnamiti... quella che hai scritto è cauchy-schwartz, effettivamente, però potevi molto più semplicemente chiamarla QM-AM! e che cavolo!
altrimenti, tanto vale dire che $ (x+y)^2 \le 2(x^2 + y^2) $ per jensen!

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Messaggio da Boll » 27 giu 2005, 22:13

enomis_costa88 ha scritto:Premetto che questa è una delle prime disequazioni su cui mi cimento..quindi nel caso probabilissimo in cui abbia sbagliato qualcosa vi prego di non aggredirmi ma di correggermi..grazie.
Pulendo i denominatori risulta:
$ \sum x_1^4*x_3^2*\dots*x_n^2 \ge \sum x_1^3*x_2*x_3^2*\dots*x_n^2 $
che dovrebbe essere vera per il bunching.
Ps si può applicare cosi(nel senso che è una sommatoria ciclica non simmetrica)???
Pps se qualcuno avesse qualche semplice disequazione da postare in modo tale da poter essere iniziato alla loro risoluzione..ne sarei molto grato.
Buona giornata Simone
No, il bunching non vale ciclicamente, o almeno, se vale, non si chiama bunching, il bunching vale per le sole somme simmetriche

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Re: L'n-esima disuguaglianza, suppongo...

Messaggio da Boll » 27 giu 2005, 22:14

ma_go ha scritto:
Boll ha scritto:Per Cauchy-Schwarz
$ (1+1+...+1)\left(\dfrac{x_1^2}{x_2^2} + \dfrac{x_2^2}{x_3^2} + \ldots + \dfrac{x_n^2}{x_1^2}\right)\ge \left(\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_3} +\ldots + \dfrac{x_n}{x_1}\right)^2 $
ehm... boll, stai cominciando a degenerare, come cinesi e vietnamiti... quella che hai scritto è cauchy-schwartz, effettivamente, però potevi molto più semplicemente chiamarla QM-AM! e che cavolo!
altrimenti, tanto vale dire che $ (x+y)^2 \le 2(x^2 + y^2) $ per jensen!
ghghgh, vabbè, me ne sono accorto dopo che era QM-AM, quando ci sono quadrati in giro, per me è sempre Cauchy

P.S. In effetti il modo più naturale per dimostrare Power Media è Jensen 8) :wink: :P

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