Trovare tutte le funzioni $ f : \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} $ tali che $ f(f(n))=n+3 $ per ogni numero naturale n.
ciao
funzionale...
Bello, molto bello… La tecnica base è studiare l’equazione mod 3 e penso esistano anche modi diversi dal mio per farlo…
Compilo una tabella….
n-----f(n)----f(f(n))
0------b-------3
b------3------b+3
3------b+3---6
b+3---6------b+6
6------b+6---9
b+6---9------b+9
9------b+9---12
….
E così via, si potrebbe compilare la tabella all’infinito… Supponiamo b = 1 mod 3 (analogamente gli altri casi)… In tal caso ogni numero =0 mod 3 viene mandato in un numero =1 mod 3... Inoltre, almeno da b in poi, ogni numero =1 mod 3 viene mandato in un numero =0 mod 3. Anche se b fosse =1 dei numeri =2 mod 3 non vi è traccia nella tabella sopra, ne costruiamo un’altra:
n-----f(n)----f(f(n))
2------c------5
c------5------c+3
5------c+3---8
c+3---8------c+11
8------c+6---11
c+6---11-----c+9
11----c+9----14
….
E così via… Ora si noti che c non può essere uguale a 0 mod 3 perché ogni numero di tal fatta viene mandato in un numero =1 mod 3… Inoltre considerando c+3z>b si capisce che c non deve nemmeno essere = 1 mod 3 e quindi c=2 mod 3. Cioè ogni numero =2 mod 3 viene mandato in numeri = 2 mod 3. Nella tabella sopra però deve essere c<>2, altrimenti la funzione non sarebbe una funzione. Inoltre c<>5 altrimenti c=c+3 impossibile…. Supponiamo c = k, ma allora quando comparirà k per la prima volta nella prima colonna a sinistra, avremo
k----c+3z=5----k+3
c + 3z = 5 -> c=5 o c=2
ma entrambe le sol trovate per c non sono accettabili…
Compilo una tabella….
n-----f(n)----f(f(n))
0------b-------3
b------3------b+3
3------b+3---6
b+3---6------b+6
6------b+6---9
b+6---9------b+9
9------b+9---12
….
E così via, si potrebbe compilare la tabella all’infinito… Supponiamo b = 1 mod 3 (analogamente gli altri casi)… In tal caso ogni numero =0 mod 3 viene mandato in un numero =1 mod 3... Inoltre, almeno da b in poi, ogni numero =1 mod 3 viene mandato in un numero =0 mod 3. Anche se b fosse =1 dei numeri =2 mod 3 non vi è traccia nella tabella sopra, ne costruiamo un’altra:
n-----f(n)----f(f(n))
2------c------5
c------5------c+3
5------c+3---8
c+3---8------c+11
8------c+6---11
c+6---11-----c+9
11----c+9----14
….
E così via… Ora si noti che c non può essere uguale a 0 mod 3 perché ogni numero di tal fatta viene mandato in un numero =1 mod 3… Inoltre considerando c+3z>b si capisce che c non deve nemmeno essere = 1 mod 3 e quindi c=2 mod 3. Cioè ogni numero =2 mod 3 viene mandato in numeri = 2 mod 3. Nella tabella sopra però deve essere c<>2, altrimenti la funzione non sarebbe una funzione. Inoltre c<>5 altrimenti c=c+3 impossibile…. Supponiamo c = k, ma allora quando comparirà k per la prima volta nella prima colonna a sinistra, avremo
k----c+3z=5----k+3
c + 3z = 5 -> c=5 o c=2
ma entrambe le sol trovate per c non sono accettabili…
Ultima modifica di info il 19 giu 2005, 20:48, modificato 2 volte in totale.
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matthewtrager
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- Località: Pisa
e' vero che non ci sono soluzioni ma non mi torna una cosa: perche' ti viene c+3z? tu hai che c viene mandato in un altro numero congruo a c mod 3 ma chi ti dice che questo non possa essere piu' piccolo di c? boh, magari sono io che non ho capito bene..info ha scritto:
k----c+3z=5----k+3
c + 3z = 5 -> c=5 o c=2
ma entrambe le sol trovate per c non sono accettabili…
Può essere che la preoccupazione per la matura mi fonda eccessivamente il cervello... mah...
vediamo un pò... studiando il caso b=1 mod 3 (b=2 mod 3 è analogo, b=0 mod 3 salta subito alla seconda tabella), ero giunto a compilare la seconda tabella...
n-----f(n)----f(f(n))
2------c------5
c------5------c+3
5------c+3---8
c+3---8------c+11
8------c+6---11
c+6---11-----c+9
11----c+9----14
.....
ed avevo anche concluso c=2 mod 3... Dato che a sinistra abbiamo tutti i numeri naturali =2 mod 3, completando la tabella avremo che ogni numero =2 mod 3 viene mandato in numeri =2 mod 3... Dato che c è uguale a 2 mod 3, questo c deve comparire prima o poi nella prima colonna della tabella come numero (intendo, comparirà un'altra volta anche dopo la seconda riga, cosa che non avveniva per b nella tabella precedente!)... Guardando la riga in cui avremo c nella prima colonna, leggeremo c+3z [ovverosia f(c) ] nella seconda con un qualche z appartenente ad N (tutti i termini per righe dispari della seconda colonna sono di quel tipo!) e nella terza colonna troveremo per forza c+3.. Ma noi sappiamo dalla prima riga che f(c)=5, e quindi uguagliano le due espressioni trovate per f(c)
c+3z=5 --> c=0 o c=5 --- ma entrambi questi valori portano all'assurdo...
torna? e nel remoto caso che tornasse, posta anche la tua sol, ok?
vediamo un pò... studiando il caso b=1 mod 3 (b=2 mod 3 è analogo, b=0 mod 3 salta subito alla seconda tabella), ero giunto a compilare la seconda tabella...
n-----f(n)----f(f(n))
2------c------5
c------5------c+3
5------c+3---8
c+3---8------c+11
8------c+6---11
c+6---11-----c+9
11----c+9----14
.....
ed avevo anche concluso c=2 mod 3... Dato che a sinistra abbiamo tutti i numeri naturali =2 mod 3, completando la tabella avremo che ogni numero =2 mod 3 viene mandato in numeri =2 mod 3... Dato che c è uguale a 2 mod 3, questo c deve comparire prima o poi nella prima colonna della tabella come numero (intendo, comparirà un'altra volta anche dopo la seconda riga, cosa che non avveniva per b nella tabella precedente!)... Guardando la riga in cui avremo c nella prima colonna, leggeremo c+3z [ovverosia f(c) ] nella seconda con un qualche z appartenente ad N (tutti i termini per righe dispari della seconda colonna sono di quel tipo!) e nella terza colonna troveremo per forza c+3.. Ma noi sappiamo dalla prima riga che f(c)=5, e quindi uguagliano le due espressioni trovate per f(c)
c+3z=5 --> c=0 o c=5 --- ma entrambi questi valori portano all'assurdo...
torna? e nel remoto caso che tornasse, posta anche la tua sol, ok?
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matthewtrager
- Messaggi: 132
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: Pisa
ah ho capito... si' penso vada bene!
la mia era questa:
Per prima cosa applicando di nuovo la funzione alla equazione iniziale si ha $ f(f(f(n)))=f(n+3)=f(n)+3 $ per ogni n. Quindi vediamo facilmente per induzione che in generale $ f(n+3k)=f(n)+3k $. Questo significa che una volta definiti f(1),f(2),f(3) viene definita completamente la funzione.
Adesso dimostriamo che f(a) (con a che e' 1,2 o3) non puo' essere un numero congruo ad a mod 3. Infatti avremmo che se f(a)=a+3k, $ f(f(a))=f(a+3k)=f(a)+3k=a+6k $ Ma questo doveva essere uguale ad a+3 e quindi e' impossibile.
Infine notiamo che se ad esempio f(a) manda in un numero congruo a b (dove b e' un altro tra 1,2,3) allora necessariamente f(b) deve rimandare a un numero congruo ad a perche mod 3 abbiamo che f(f(a))==a. Ma a questo punto il terzo numero rimasto fuori c non puo' mandare ne' ad un numero congruo ad a o b, perche' senno' f(f(c)) non sarebbe congruo a c ne' congruo a se stesso. Dunque niente funzioni!
altre soluzioni?? secondo me ci deve essere un modo anche piu' semplice...
la mia era questa:
Per prima cosa applicando di nuovo la funzione alla equazione iniziale si ha $ f(f(f(n)))=f(n+3)=f(n)+3 $ per ogni n. Quindi vediamo facilmente per induzione che in generale $ f(n+3k)=f(n)+3k $. Questo significa che una volta definiti f(1),f(2),f(3) viene definita completamente la funzione.
Adesso dimostriamo che f(a) (con a che e' 1,2 o3) non puo' essere un numero congruo ad a mod 3. Infatti avremmo che se f(a)=a+3k, $ f(f(a))=f(a+3k)=f(a)+3k=a+6k $ Ma questo doveva essere uguale ad a+3 e quindi e' impossibile.
Infine notiamo che se ad esempio f(a) manda in un numero congruo a b (dove b e' un altro tra 1,2,3) allora necessariamente f(b) deve rimandare a un numero congruo ad a perche mod 3 abbiamo che f(f(a))==a. Ma a questo punto il terzo numero rimasto fuori c non puo' mandare ne' ad un numero congruo ad a o b, perche' senno' f(f(c)) non sarebbe congruo a c ne' congruo a se stesso. Dunque niente funzioni!
altre soluzioni?? secondo me ci deve essere un modo anche piu' semplice...